Анализ рынка фильмов

 

      В логарифмической модели сразу бросается  в глаза незначимость подавляющего большинства регрессоров. Таким  образом, можно утверждать, что в  данной модели лишь количественные переменные оказались значимыми. F-статистика указывает на значимость уравнения в целом.

      В ходе работы над поиском модели авторами были сделаны следующие выводы:

• Ни в одной из исследуемых моделей фиктивные переменные ЖАНРА не стали значимыми, следовательно, скорее всего,  нужно сделать вывод, что выбор людей между «идти/не идти» на фильм не зависит от жанра фильма.
• Так как во всех ранее рассмотренных моделях ни разу коэффициент перед переменной ACTOR не становился значимым, следовательно, стоит рассмотреть некие другие функциональные связи между зависимой переменной и данными переменными.

 

2.4. Оригинальная  модель 

      С учетом корректировок, авторы проекта  рассмотрели различные виды моделей. Были рассмотрены различные вариации смесей линейной, логарифмической и  полулогарифмической моделей. В  итоге, была найдена оригинальная модель:

LOG(SB) = C1 + С2*LNMAX + С3*BUD + С4*TIME + С5*STATE 

 

Интерпретация коэффициентов:

• При увеличении максимального числа кинотеатров на один процентный пункт величина кассовых сборов фильма растет на 0,86%
• При росте бюджета фильма на 1$ кассовые сборы растут на 0,00000105%
• Каждая дополнительная неделя показа фильма вызывает рост кассовых сборов фильма на 6,9%

t-статистики, а также их вероятности, указывают на значимость данных регрессоров на уровне значимости α = 1%.

      Видно, что все переменные модели являются значимыми. F- статистика указывает на значимость уравнения в целом. R-squared =0.817927 принял достаточно высокое значение.

      Проведем  тесты на гетероскедастичность и  проверим модель на устойчивость. 

2.5.Анализ  модели на устойчивость

1. Тест Уайта  а) no cross terms

 

Данный тест говорит, что гипотеза о гомоскедастичности принимается с минимально вероятностью.

                           b) cross terms

 

F-статистика, равная 10.75239 указывает на наличие гетероскедастичности на уровне значимости 1%.

По результатам  теста Уайта можно судить о наличии гетероскедастичности. 

2. Тест ранговой  корреляции Спирмена.

Так как в  модели регрессии имеется более  одной объясняющей переменной, то проверка гипотезы о наличии гетероскедастичности может выполняться с использованием любой из них.

1) Проведем сначала  для переменной МАХ – максимальное  число кинотеатров.

r =0,832 => r*((n-1)^0.5) = 11,74 >1,96 => гетероскедастичность есть. 

2) Теперь проведем  данный тест для переменной  BUD – бюджет фильма.

r =0,762 => r*((n-1)^0.5) = 10,75 >1,96 => гетероскедастичность есть 

3. Проведем тест  Голдфелда-Квандта.

Упорядочим наблюдения по возрастанию максимального числа кинотеатров и оценим регрессию по первым 70 наблюдениям и по последним 70 (то есть d = 60 = 0.3*n). 

1) Проведем для  переменной МАХ – максимальное  число кинотеатров.

ESS1 = 121.67

ESS2 = 11,23

Следовательно, ESS1/ESS2 = 121.67/11.23 = 10.83

F(α=5%, 70, 70) = 1,45<10.83 => гетероскедастичность есть. 

2) Проведем для  переменной BUD – бюджет фильма.

ESS1 = 126.57

ESS2 = 17.25

Следовательно, ESS1/ESS2 = 126.57/17.25 = 7.34

F(α=5%, 70, 70) = 1,45<7.34 => гетероскедастичность есть. 

3) Проведем для  переменной TIME – продолжительность показа фильма (недели).

ESS1 = 107

ESS2 = 31.6

Следовательно, ESS1/ESS2 = 107/31.6 = 3.39

F(α=5%, 70, 70) = 1,45<3.39 => гетероскедастичность есть. 
 

4. Проведем тест  Глейзера. 

Для этого надо рассмотреть модели: 

• |e| = cons + β*(ln(MAX))^γ, где γ будем брать, равное 0,5, 1 и 2
• |e| = cons + β*(BUD)^γ, где γ будем брать, равное 0,5, 1 и 2
• |e| = cons + β*(TIME)^γ, где γ будем брать, равное 0,5, 1 и 2

 

В первой из них  получается следующее:

1.1. При γ = 2: |e| = 0,033205 – 0,000645*(ln(MAX))^2, причем коэффициент при ln(MAX))^2 получается незначим. Следовательно, гетероскедастичности нет.

1.2. При γ = 1: |e| = 2,51*10^(-13) + 6.79*10^(-15)*ln(MAX), причем коэффициент при ln(MAX) получается незначим. Следовательно, гетероскедастичности нет.

1.3. При γ = 0.5: |e| = -0.154849 + 0,059711*(ln(MAX))^0.5, причем коэффициент при ln(MAX))^0.5 получается незначим. Следовательно, гетероскедастичности нет. 

Во второй модели:

1.1. При γ = 2: |e| = 0,030035 + 6.88*10^(-18)*(BUD)^2, причем коэффициент при (BUD)^2 получается незначим. Следовательно, гетероскедастичности нет

1.2. При γ = 1: |e| = 2,52*10^(-13) + 1.05*10^(-21)*BUD, причем коэффициент при BUD получается незначим. Следовательно, гетероскедастичности нет

1.3. При γ = 0.5: |e| = 0.110889 + 1.86*10^(-5)*(BUD)^0,5, причем коэффициент при (BUD)^0.5 получается незначим. Следовательно, гетероскедастичности нет. 

В третьей модели:

1.1. При γ = 2: |e| = 0,020276 – 0,000118*(TIME)^2, причем коэффициент при (TIME)^2 получается незначим. Следовательно, гетероскедастичности нет.

1.2. При γ = 1: |e| = 5,04*10^(-13) – 2.62*10^(-14)*TIME, причем коэффициент при TIME получается незначим. Следовательно, гетероскедастичности нет.

1.3. При γ = 0.5: |e| = -0.037245 – 0.01151*TIME, причем коэффициент при (TIME)^0.5 получается незначим. Следовательно, гетероскедастичности нет. 

      Таким образом, тест Глейзера всецело указывает  на отсутствие гетероскедастичности в рассматриваемой модели.  

      Подводя итог к анализу модели на устойчивость, следует сказать, что все тесты (а именно тест ранговой корреляции Спирмена, тест Уайта и тест Голдфелда-Квандта), кроме теста Глейзера, указали на явное наличие гетероскедастичности в итоговой модели. Следовательно, оценки МНК, которые использовались до сих пор, неэффективны. Можно, по меньшей мере, найти другие оценки, которые имеют меньшую дисперсию и, тем не менее, являются несмещенными, для получения которых проведем двухшаговую процедуру. 

Глава 3. Оценка адекватности итоговой модели и возможные

способы ее улучшения.

3.1 Улучшение  эффективности оценок: двухшаговая процедура. 

Предположим, что σ_i – стандартное отклонение случайного члена в наблюдении i – зависит от регрессоров итоговой модели, то есть σ_i^2 = β(0) + β(1)*ln(MAX) + β(2)*BUD + β(3)*TIME + β(4)*STATE.  

1) После МНК-оценки  итоговой модели, получен вектор  остатков е.

                _{_                       _}

2) е_i^2 = σ_i^2, где σ_i – оценка стандартного отклонение случайного члена в наблюдении i. Оценим β(0), β(1), β(2), β(3), β(4) из модели е_i^2 = β(0) + β(1)*ln(MAX) + β(2)*BUD + β(3)*TIME + β(4)*STATE. 

                             _{_}

Следовательно, получены оценки β(0), β(1), β(2), β(3), β(4). Теперь найдем σ_i^2 = 5.044190 - 0.566977* ln(MAX) + 1.80E-09*BUD + 0.015492*TIME - 0.0257*STATE. 

3) Теперь найдем эффективные оценки для С1, С2, С3, С4, С5 с несмещенными стандартными ошибками. Поделим каждое уравнение LOG(SB_i) = C1 + С2*LN(MAX_i) + С3*BUD_i + С4*TIME_i + С5*STATE_i на соответствующую полученную оценку σ_i, что может быть переписано как LOG(SB)(1) = C1*υ + С2*LNMAX(1) + С3*BUD(1) + С4*TIME(1) + С5*STATE(1), где LOG(SB)(1) определяется как LOG(SB_i)/ σ_i; LNMAX(1) представляет собой LN(MAX_i) / σ_i; υ – новая переменная, i-ое наблюдение которой равно 1/ σ_i; величина BUD(1) есть BUD_i / σ_i; TIME(1) – это TIME_i/ σ_i; и наконец, STATE(1) – то же, что и STATE_i/ σ_i.