Корреляционно - регресионные модели в планировании и прогнозировании

                                                                                                       (18)

В этом случае нужно решить следующие задачи: [9, с.81-87]

   найти коэффициенты так, чтобы функция наилучшим образом отражала важнейшие свойства изучаемого явления;

   выразить в виде числа меру или тесноту зависимости между значениями признаков ;

   выразить в виде числа меру или тесноту связи между Z и X при фиксированном Y, между Z и Y при фиксированном X.

Коэффициенты находят с помощью метода наименьших квадратов:

                                                                  (19)

Для этого необходимо найти частные производные по аргументам :

                                                                            (20)

                                                                            (21)

                                                                              (22)

Приравнивая частные производные данной функции к нулю и перегруппировав слагаемые, приходим к системе из трех уравнений с тремя неизвестными:

                                                                          (23)

На основе коэффициентов регрессии нельзя сказать, какой из факторных признаков оказывает наибольшее влияние на результативный признак, т.к. коэффициенты регрессии между собой несопоставимыми, т.е. имеют разные единицы измерения.

Чтобы привести их в сопоставимый вид, все переменные уравнения регрессии выражают в долях среднеквадратического отклонения, т.е. рассчитывают стандартизированные коэффициенты (-коэффициенты) и коэффициенты эластичности. [5, с.480-481]

                                                           ,                                                  (24)

где - среднее квадратическое отклонение i-го фактора:

      - среднее квадратическое отклонение показателя.

                                                           ,                                                    (25)

где - коэффициент регрессии при i-м факторе;

      - среднее значение изучаемого показателя.

-коэффициент показывает, что если величина фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, то соответствующая зависимая переменная увеличится или уменьшится на долю своего среднеквадратического отклонения.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменяется анализируемый показатель с изменением на 1% каждого фактора при фиксированном положении других факторов

Мера или теснота связи значений признака Z со значениями признаков X, Y оценивается по формуле:

                                                 ,                                        (26)

где R – полный коэффициент корреляции (в отличие от коэффициентов ), всегда положительный и принимает значения на множестве [0,1]. Он не меньше, чем абсолютная величина любого парного или частного коэффициента корреляции.

Теснота связи между Z, X (при фиксированном Y) оценивается частным выборочным коэффициентом корреляции:

                                                                                             (27)

Теснота связи между Z, Y (при фиксированном X) – таким же коэффициентом:

                                                                                       (28)

Свойства аналогичны свойствам выборочного коэффициента корреляции.

Если коэффициент корреляции двух факторов выше 0,85, то один из них необходимо исключить из модели.

Уравнения множественной регрессии должны зачастую учитывать и качественные признаки (например, профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы и т.д.). Чтобы ввести такие факторы в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные количественные значения, т.е. в виде фиктивных переменных. Например, включать в модель фактор “пол” в виде фиктивной переменной можно в следующем виде:

Коэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как изменение зависимости при переходе от одной категории к другой при неизменности значений остальных параметров. На основе t-критерия Стьюдента делается вывод о значимости влияния фиктивной переменной и существенности расхождения между качественными признаками.

F-распределение Фишера служит для оценки уравнения регрессии в целом.

                                                      ,                                               (29)

где m – число параметров в уравнении регрессии;

       n – число наблюдений.

Расчетные значения сравнивают с табличными.

Статистическая значимость, надежность связи, выраженной частными коэффициентами корреляции, проверяется по t-критерию Стьюдента путем сравнения расчетного значения с табличным по заданной степени точности. Обычно в практике степень точности берется 5%, что соответствует вероятности p=0,05.

Так, например, для двух факторов и зависимости вида имеем:

                                                                             (30)

                                                                             (31)

Наиболее сложным этапом, завершающим корреляционно-регрессионный анализ, является интерпретация полученных результатов, т.е. перевод их с языка статистики и математики на язык экономики.

1.3Оценка достоверности уравнения.

Для того чтобы убедиться в точности (надежности) уравнения связи, необходимо дать статистическую оценку надежности показателей связи. Для этого используются критерий Фишера (F-отношение), средняя ошибка аппроксимации (), коэффициенты множественной корреляции (R) и детерминации (D).

Для измерения тесноты связи между факторами и результативным показателем исчисляют парные, частные и множественные коэффициенты корреляции. [3, с.34-35]

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1, причем, чем ближе коэффициент к +1, тем сильнее между показателями связь, выражающаяся в прямой зависимости, т.е. при увеличении одного показателя увеличивается и второй, и наоборот. Чем ближе коэффициент корреляции к -1, тем сильнее связь между показателями, выражающаяся в обратной зависимости, т.е. при увеличении одного показателя другой уменьшается, и наоборот. При приближении коэффициента к нулю связь между показателями ослабевает, имеет место предположение о независимости показателей. [6, с.30-31]

Следует отметить, что значение коэффициента корреляции не зависит от единиц измерения и выбора начала отсчета. Это означает, что если переменные Х и У уменьшить (увеличить) в К раз либо на одно и то же число С, то коэффициент корреляции не изменится.

Парные коэффициенты рассчитываются для всевозможных пар переменных без учета влияния других факторов.

Для того чтобы определить взаимное влияние факторов, применяют частные коэффициенты корреляции, которые отличаются от коэффициентов парной корреляции тем, что выражают тесноту корреляционной зависимости между двумя признаками уже при устранении изменений, вызванных влиянием других факторов корреляционной модели. Частные коэффициенты корреляции используются при изучении связи между несколькими, чаще всего тремя, признаками (y, x, z) для ответа на вопрос о влиянии признака x на признак y при исключенном влиянии признака z на признак y или о влиянии признака z на признак y при исключенном влиянии признака x на признак y.

Предполагая все связи линейными, получим: [3, c.34]

                                                                                         (32)

                                             ,                                   (33)

где - частный коэффициент корреляции между x и y при исключенном z;

      - частный коэффициент корреляции между y и z при исключенном x;

       - парные коэффициенты корреляции.

Метод частной корреляции позволяет выявить “чистую” зависимость результативного признака y от данного факторного признака x и установить, каково было влияние этого факторного признака на величину результативного при условии, что другой факторный признак z оставался бы неизменным.

Абсолютные величины частных коэффициентов корреляций не могут быть больше величины коэффициента множественной корреляции.

Множественные коэффициенты корреляции показывают тесноту связи между анализируемым показателем и всеми факторами, включенными в модель.

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает, на сколько процентов вариация результативного показателя зависит от влияния избранных факторов.

Далее осуществляется шаговый регрессионный анализ, результатом которого является уравнение регрессии:

                                              ,                                   (34)

где y – функция (анализируемый показатель);

      - свободный член уравнения;

      - факторы, определяющие результативный показатель;

      - коэффициенты регрессии при факторных показателях, характеризующие уровень влияния каждого фактора на результативный показатель.

От правильного выбора уравнения регрессии зависит ход решения задачи и результаты расчетов.

Общая оценка адекватности уравнения регрессии может быть получена с помощью дисперсионного F-критерия Фишера.[12, с.135]

                                                              ,                                                (35)

                                где ; ;                         (36)

- индивидуальные значения результативного показателя;

- среднее значения результативного показателя;

- фактические индивидуальные значения результативного показателя;

- количество параметров в уравнении связи, учитывая свободный член уравнения;

- количество наблюдений.

Значение F показывает, в какой мере регрессия лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению с ее средней.

Полученное значение сравнивают с критическим (табличным). Если оно окажется больше соответствующего табличного значения, то данное уравнение регрессии статистически значимо, т.е. доля вариации, обусловленная регрессией, намного превышает случайную ошибку. Принято считать, что уравнение регрессии пригодно для практического использования в том случае, если не менее чем в 4 раза.

Для парной регрессионной модели оценка значимости уравнения регрессии по F-критерию равносильна оценке значимости коэффициента корреляции по t-критерию, т.к. эти критерии связаны между собой соотношением:

                                                                                                                     (37)

Для оценки значимости коэффициентов регрессии при линейной зависимости y от m факторов используют t-критерия Стьюдента. [12, с.132]

                                                              ,                                                     (38)

где - среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции, определяется по формуле:

                                                                                                             (39)

Если расчетное значение t выше табличного, то можно сделать вывод, что величина коэффициента корреляции является значимой.

Если в уравнении все коэффициенты регрессии значимы, то данное уравнение признают окончательным и применяют в качестве модели изучаемого показателя для последующего анализа.

Оценку значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия проводят для завершения отбора существенных факторов в процессе многошагового регрессионного анализа. Суть его заключается в том, что после оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключают тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение t-критерия. Затем уравнение регрессии строится без исключенного фактора и снова проводится оценка адекватности уравнения и значимости коэффициентов регрессии. Такой процесс длится до тех пор, пока все коэффициенты регрессии не окажутся значимыми, что свидетельствует о наличии в регрессионной модели только существенных факторов.

В некоторых случаях расчетное значение находится вблизи, поэтому с точки зрения содержательности модели такой фактор можно оставить для последующей проверки его значимости в сочетании с другим набором факторов.

Выбор адекватной модели производится на основе ошибки аппроксимации : [12, с.136]

                                                        ,                                         (40)

Наибольшее значение ошибки аппроксимации свидетельствует о том, что оцениваемая модель дает наиболее адекватное описание формы взаимосвязи. Причем ошибка аппроксимации не должна превышать 0,2, или 20%.[8, с.52]

Уравнение регрессии тем точнее описывает зависимости, сложившиеся между исследуемыми показателями, чем выше величина коэффициентов множественной корреляции, детерминации, F-критерия и чем ниже величина стандартной ошибки.