Постановка задач принятия оптимальных решений

Методический учет случайных факторов, заданных распределением, может быть выполнен двумя приемами: заменой  случайных параметров их математическими  ожиданиями (сведением стохастической задачи к детерминированной) и "взвешиванием" показателя качества по вероятности (этот прием иногда называют "оптимизация  в среднем").

Первый прием предусматривает  определение математического ожидания случайной величины v – M(v) и определение зависимости W(M(v)), которая в дальнейшем оптимизируется по u. Однако сведение к детерминированной схеме может быть осуществлено в тех случаях, когда диапазон изменения параметра u невелик или когда зависимость W(u) линейна или близка к ней.

Второй прием предусматривает  определение W в соответствии с зависимостями  соответственно для дискретных и  непрерывных величин:

 

,

,

 

где P(u_i) – ряд распределений случайной величины u_i;

f(u_i) – плотность распределения случайной величины u.

При описании дискретных случайных  величин наиболее часто используют распределения Пуассона, биноминальное. Для непрерывных величин основными распределениями являются нормальное, равномерное и экспоненциальное⁵.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Постановка задачи  стохастического программирования

 

При перспективном и оперативном  планировании работы предприятия возникает  необходимость в учете ряда случайных  факторов, существенно влияющих на процесс производства. К таким  факторам относятся спрос, который  не всегда может быть предсказуем, непредусмотренные  сбои в поступлении сырья, энергии, рабочей силы, неисправности и  аварии оборудования. Еще больше случайных  факторов необходимо учитывать при  планировании производства, эффективность  которого зависит от климатических  условий, урожайности и т.д. Поэтому, например, задачи планирования лесного  производства целесообразно ставить  и исследовать в терминах и  понятиях стохастического программирования, когда элементы задачи линейного  программирования (матрица коэффициентов A, вектора ресурсов В, вектора оценок С) часто оказываются случайными. Подобного типа задачи ЛП принято классифицировать как задачи стохастического программирования (СП).

Подходы к постановке и анализу  стохастических задач существенно  различаются в зависимости от последовательности получения информации – в один прием или по частям. При построении стохастической модели важно также знать, необходимо ли принять единственное решение, не подлежащее корректировке, или можно по мере накопления информации один или несколько раз корректировать решение. В соответствии с этим в стохастическом программировании исследуются одноэтапные, двухэтапные и многоэтапные задачи.

В одноэтапных задачах решение принимается один раз и не корректируется. Они различаются по показателям качества решения (по целевым функциям), по характеру ограничений и по виду решения.

Задача СП может быть сформулирована в M- и P-постановках по отношению  к записи целевой функции и  ограничений. Случайны элементы вектора С (целевая функция).

При M-постановке целевая функция W записывается в виде:

 

.

 

Что означает оптимизацию математического  ожидания целевой функции.

От математического ожидания целевой  функции можно перейти к математическому  ожиданию случайной величины c_j

 

.

 

При P- постановке имеем:

- при максимизации

 

 

где W_min – предварительно заданное допустимое наихудшее (минимальное) значение целевой функции;

- при минимизации

 

 

где W_max – предварительно заданное допустимое наихудшее (максимальное) значение целевой функции.

Суть P-постановки заключается в  том, что необходимо найти такие  значения x_j, при которых максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не хуже предельно допустимого значения.

Ограничения задачи, которые должны выполняться при всех реализациях  параметров условий задачи, называются жесткими ограничениями. Часто возникают ситуации, в которых постановка задачи позволяет заменить жесткие ограничения их усреднением по распределению случайных параметров. Такие ограничения называют статистическими.

В инженерной практике наиболее часто  используется нормальный закон распределения, поэтому дальнейшие зависимости  приведем для этого случая⁶.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Метод статистического  моделирования

 

В задачах принятия оптимальных  решений широкое применение получил  метод Монте-Карло. Основными особенностями этого метода, основанного на многократном повторении одного и того же алгоритма для каждой случайной реализации, являются: универсальность (метод не накладывает практически никаких ограничений на исследуемые параметры, на вид законов распределения); простота расчетного алгоритма; необходимость большого числа реализаций для достижения хорошей точности; возможность реализации на его основе процедуры поиска оптимальных параметров проектирования.

Отметим основные факторы, определяющие применение метода статистического  моделирования в задачах исследования качества при проектировании: метод  применим для задач, формализация которых  другими методами затруднена или  даже невозможна; возможно применение этого метода для машинного эксперимента над не созданной в натуре системы, когда натурный эксперимент затруднен, требует больших затрат времени  и средств или вообще не допустим по другим соображениям⁷.

4.1 Учет неопределенных  пассивных условий

 

Неопределенные факторы, закон  распределения которых неизвестен, являются наиболее характерными при  исследовании качества адаптивных систем. Именно на этот случай следует ориентироваться  при выборе гибких конструкторских  решений. Методический учет таких факторов базируется на формировании специальных  критериев, на основе которых принимаются  решения. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теорию принятия решений⁸.

В соответствии с критерием Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем "нижняя цена игры с природой":

 

.

 

Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [W_ir] дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов W_ir каждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца.

Выбранное таким образом решение  полностью исключает риск. Это  означает, что принимающий решение  не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который  он ориентируется. Какие бы условия  V_j не встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение этого критерия может  быть оправдано, если ситуация, в которой  принимается решение, характеризуется  следующими обстоятельствами:

- о вероятности появления состояния  V_j ничего не известно;

- с появлением состояния V_j необходимо считаться;

- реализуется лишь малое количество  решений;

- не допускается никакой риск.

Критерий Байеса-Лапласа в отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений:

 

.

 

Соответствующее правило выбора можно  интерпретировать следующим образом: матрица решений [W_ij] дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца.

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет  к ситуации, в которой принимается  решение, следующие требования:

- вероятность появления состояния  V_j известна и не зависит от времени;

- принятое решение теоретически  допускает бесконечно большое  количество реализаций;

- допускается некоторый риск  при малых числах реализаций.

В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

 

.

 

Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии  V_j вместо варианта U_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [W_ij] вычитается из наибольшего результата max W_ij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей W_ir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.

Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом:

 

.

 

Правило выбора, согласно этому критерию, следующее: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы W_ir этого столбца.

Критерий Гурвица предъявляет  к ситуации, в которой принимается  решение, следующие требования:

- о вероятности появления состояния  V_j ничего не известно;

- с появлением состояния V_j необходимо считаться;

- реализуется лишь малое количество  решений;

- допускается некоторый риск.

Критерий Ходжа-Лемана базируется одновременно на критериях Вальда и Байеса-Лапласа:

 

.

 

Правило выбора, соответствующее этому  критерию, формулируется следующим  образом: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбирается тот вариант решения, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца.

При z=1 критерий преобразуется в  критерий Байеса-Лапласа, а при z=0 превращается в критерий Вальда. Таким образом, выбор параметра z подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без внимания остается и число реализаций. Поэтому этот критерий редко применяется при принятии технических решений.

Критерий Ходжа-Лемана предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

- о вероятности появления состояния  V_j ничего неизвестно, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

- принятое решение теоретически  допускает бесконечно большое  количество реализаций; допускается  некоторый риск при малых числах  реализаций.

Общие рекомендации по выбору того или  иного критерия дать затруднительно. Однако отметим следующее: если в  отдельных ситуациях не допустим даже минимальный риск, то следует  применять критерий Вальда; если определенный риск вполне приемлем, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа. Можно рекомендовать одновременно применять поочередно различные критерии.

Такой подход позволяет, во-первых, лучше  проникнуть во все внутренние связи  проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного  фактора. Кроме того, в области  технических задач различные  критерии часто приводят к одному результату.

Применение данных критериев с  методической точки зрения удобно продемонстрировать на примере одной задачи⁹.

4.2 Учет активных  условий

 

Как правило, решение практических задач, связанных с оценкой качества и надежности изделий лесного  машиностроения, зависит не только от оперирующей стороны (допустим, конструктора), но и от действий других субъектов системы (например, технолога-лесозаготовителя). Каждая из сторон преследует собственные цели, не всегда совпадающие друг с другом. Неопределенность такого рода при принятии решений относят к классу поведенческих неопределенностей. Теоретической основой нахождения оптимального решения в условиях неопределенности и конфликтных ситуаций является теория игр. Игра – это математическая модель процесса функционирования конфликтующих элементов систем, в котором действия игроков происходят по определенным правилам, называемых стратегиями. Ее широкому распространению в последнее время способствовало как развитие ЭВМ, так и создание аналитического аппарата, позволяющего находить аналитические решения для широкого класса задач. Основной постулат теории игр – любой субъект системы, по меньшей мере, так же разумен, как и оперирующая сторона и делает все возможное, чтобы достигнуть своих целей. От реального конфликта игра (математическая модель конфликта) отличается тем, что она ведется по определенным правилам, которые устанавливают порядок и очередность действий субъектов системы, их информированность, порядок обмена информацией, формирование результата игры¹⁰.

Существует много классов игр, различающихся по количеству игроков, числу ходов, характеру функций  выигрыша и т.д. Выделим следующие  основные классы игр:

- антагонистические (игры со  строгим соперничеством) и неантагонистические.  В первом случае цели игроков  противоположны, во втором – могут совпадать;

- стратегические и нестратегические (в первых субъект системы действует  независимо от остальных, преследуя  свои цели, во-вторых, субъекты выбирают  единую для всех стратегию);