Задачи по "Эконометрике"

Задача 1

На звероферме могут выращивать черно-бурых лисиц и песцов. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которые должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

Решение

Обозначим переменные:

– количество лисиц;

– количество песцов.

Ограничения на использование корма имеют следующий вид:

Прибыль от реализации шкурок равна у. е.

Поскольку количество лисиц и песцов не может быть отрицательным, то должно выполняться условие неотрицательности переменных .

Получена задача: найти такие значения и , при которых функция достигает своего наибольшего значения при существующих ограничениях.

На координатной плоскости строим прямые, которые соответствуют уравнениям ограничений.

- уравнение прямой в отрезках на осях

Относительно каждой из этих прямых отмечаем полуплоскость, в которой данное неравенство выполняется. Ту часть плоскости, где выполняются все неравенства системы ограничений, заштриховываем. Это и есть многоугольник планов.

Таким образом, необходимо выращивать 57 лисиц и 12 песцов, при этом максимальная прибыль составит у. е.

Решим также задачу с помощью ПОИСКА РЕШЕНИЯ.

Как видим, решение, полученное графическим методом и решение, полученное с помощью ПОИСКА РЕШЕНИЯ, совпадают.

Задача 2

      Построить математическую модель задачи.

      Найти решение при помощи Microsoft Excel.

      Дать экономическую интерпретацию решению.

Компания Mercedes-Benz открывает новую линию по крупноузловой сборке автомобилей А, В, С класса. Сборка автомобиля производится в четырех цехах, рабочее время работников каждого цеха (чел./ч) указано в таблице. Чтобы собрать автомобиль, необходимо осуществить следующие этапы:

1)     Машинная сборка отдельных узлов и деталей (автоматизированный цех);

2)     Установка двигателя и трансмиссии (моторный цех);

3)     Установка ходовой части (колесный цех);

4)     Окончательная предпродажная подготовка (цех окончательной сборки).

На сборку одного автомобиля, в зависимости от класса машины необходимы разные затраты рабочего времени сотрудников. Известна норма расхода ресурса рабочего времени на одну машину на каждом этапе сборки.

С учетом особенностей автомобильного рынка данного региона маркетологами компании подсчитана приблизительная прибыль от продажи одного автомобиля (тыс. евро). Нормы затрат рабочего времени на сборку одного автомобиля, и прибыль от реализации приведены в таблице. Составить оптимальный план сборки автомобилей, обеспечивающий максимальную прибыль. Определить на каких цехах рабочее время работников расходуется неэффективно.

Решение

Обозначим: - количество единиц автомобилей класса А;

- количество единиц автомобилей класса В;

- количество единиц автомобилей класса С.

Тогда прибыль от реализации собранных автомобилей является функцией трех переменных: . Так как ресурс рабочего времени, расходуемый на сборку автомобилей, не может превышать лимита рабочего времени, то ограничения по каждому цеху можно записать в виде неравенств:

Кроме того, количество собранных автомобилей не может быть отрицательным, то есть .

Задачу можно сформулировать следующим образом: найти такие значения , , , удовлетворяющие системе ограничений, при которых функция цели достигала бы максимального значения. Математическая модель задачи имеет вид:

Решение задачи с помощью электронных таблиц.

Таким образом, компании нужно собрать 20 автомобилей класса А, 11 автомобилей класса В и 12 автомобилей класса С. Прибыль при таком плане производства составит 379 тыс. евро.

Произведем отчет по устойчивости.

Рабочее время работников расходуется неэффективно в автоматизированном, моторном цехе и в цехе окончательной сборки.

Задача 3

      Построить математическую модель транспортной задачи.

      Найти начальные опорные планы методоми северо-западного угла и методом минимальной стоимости

      Найти решение при помощи Microsoft excel.

В трех пунктах производства имеются запасы какого-то однородного продукта в количествах , , тонн. Необходимость в этом продукте в четырех пунктах потребления выражается соответственно величинами , , , тонн. Из каждого пункта производства возможна транспортировка продукта в любой пункт потребления. Транспортные издержки на перевозку одной тонны продукции (груза) из пункта в пункт (в у.е.) заданы матрицей тарифов . Составить оптимальный план перевозок, при котором весь продукт из пунктов производства будет вывезен, запросы потребителей полностью удовлетворены и суммарные транспортные издержки минимальны.

Решение

Рассматриваемая транспортная задача является закрытой, так как . Запишем транспортную задачу в виде таблицы: