1 линейная модель с годами.xls

Титульный лист

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11	Имеются: показатель Y(t)
12	t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
13	Y(t)	3.4	5.5	7.4	8.5	9.6	10.8	11.9	12.6	10.4
14

ОтветыЗадачи1

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	Имеются: показатель Y(t)
2	t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
3	Y(t)	3.4	5.5	7.4	8.5	9.6	10.8	11.9	12.6	10.4
4	Сглаженные значения показателя приведены в третьей строке таблицы
5	t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
6	Y(t)	3.4	5.5	7.4	8.5	9.6	10.8	11.9	12.6	10.4
7
8		1. Линейная модель
9	a1=	61	/	60	=	1.01
10	a0 =	8.90	- (	1.01	*	5	) =	3.85
11			Остаточная компонента				Условие	Относит.
12			Независимость		Случай-	Нормаль-	адекват-	средн.по
13			d-критер.	1-й коэф.	ность	ность	ности	модулю
14			Дарбина	автокорр.			модели	отклонен.
15	Значение		1.03	0.13	1	2.86	НЕТ
16	Выполн. условия		НЕТ	ДА	НЕТ	ДА	НЕТ
17	Табл, 1.3 Прогнозные оценки по линейной модели
18		Время	Шаг	Прогноз	Нижняя	Верхняя
19		t	k	Yp(t)	граница	граница
20		10	1	14.65	12.19	17.11
21		11	2	15.27	12.81	17.87

РешениеЗадачи1

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1		1. Линейная модель			имеет вид
2										1.0
3	Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного
4	уравнения a1 и a0 по формулам 1.1-.1.4 :
5	необходимых для расчетов по формулам 1.1-1.4 приведены в табл. 1.1
6	Таблица 1.1 Промежуточные вычисления, необходимые для оценки параметров модели
7	t	Факт	Отклон	(t-tср)^2	Y(t)-Yср	(t-tср)*	Расч	Отклон	E(t)-E_cp	E(t)-E_cp
8		Y(t)	t-tср			(Y(t)-Yср)	Yp(t)	E(t)		в квадр
9	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	1	3.4	-4.00	16.00	-5.50	22.00	4.86	-1.46	-1.46	2.13
11	2	5.5	-3.00	9.00	-3.40	10.20	5.87	-0.37	-0.37	0.14
12	3	7.4	-2.00	4.00	-1.50	3.00	6.88	0.52	0.52	0.27
13	4	8.5	-1.00	1.00	-0.40	0.40	7.89	0.61	0.61	0.37
14	5	9.6	0.00	0.00	0.70	0.00	8.90	0.70	0.70	0.49
15	6	10.8	1.00	1.00	1.90	1.90	9.91	0.89	0.89	0.79
16	7	11.9	2.00	4.00	3.00	6.00	10.92	0.98	0.98	0.96
17	8	12.6	3.00	9.00	3.70	11.10	11.93	0.67	0.67	0.45
18	9	10.4	4.00	16.00	1.50	6.00	12.94	-2.54	-2.54	6.45
19	45	80	0	60.00	0.00	60.60	80.10	0.00		12.05
20	Используя данные итоговой строки таблицы и учитывая, что N =							9
21	по ф-лам 1.3 и 1.4 находим
22		tcp=	5	Ycp =	8.90	Е_ср =	0
23	Зная tcp и Ycp рассчитываем графы 3-6 табл. 1.1 , а затем , используя значения
24	итоговой строки стролбцов 4 и 6
25
26					61
27
28				60
29	по формулам 1.1 и 1.2 находим
30
31
32	Затем по формуле				рассчитываем значения Yр(t) и заносим в столбец 7 табл.1.1
33	а столбец 8 заполняем как разность столбцов 2 и 7 - т.е. находим остаточную компоненту. Ее
34	необходимо исследовать для решения вопроса об адекватности модели.
35	ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ
36	Для того, чтобы модель была адекватна исследуемому процессу ряд остатков E(t) должен
37	обладать свойствами 1) случайности, 2)независимости последовательных уровней и
38	3 )нормальности распределения
39	Для оценки адекватности модели проводим промежуточные расчеты (см.табл.1.2)
40	Таблица 1.2 Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
41	t	Факт	Отклон	Точки		E(t-1)	E(t)-E(t-1)	E(t)-E(t-1)	E(t)*E(t-1)	\|E(t)\|/Y(t)
42		Y(t)	E(t)	поворота				в квадр.		%
43	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
44	1	3.4	-1.46	хххх	2.13	-	-	-	-	42.94
45	2	5.5	-0.37	0	0.14	-1.46	1.09	1.19	0.54	6.73
46	3	7.4	0.52	0	0.27	-0.37	0.89	0.79	-0.19	7.03
47	4	8.5	0.61	0	0.37	0.52	0.09	0.01	0.32	7.18
48	5	9.6	0.70	0	0.49	0.61	0.09	0.01	0.43	7.29
49	6	10.8	0.89	0	0.79	0.70	0.19	0.04	0.62	8.24
50	7	11.9	0.98	1	0.96	0.89	0.09	0.01	0.87	8.24
51	8	12.6	0.67	0	0.45	0.98	-0.31	0.10	0.66	5.32
52	9	10.4	-2.54	хххх	6.45	0.67	-3.21	10.30	-1.70	24.42
53	45	80		1	12.05			12.45	1.55	117.39
54	Количество точек поворота p =				1
55	1.Проверка случайности уровней на основе критерия поворотных точек
56	Проверку случайности уровней остаточной компоненты (столбец 3 табл.1.2) проводим на основе
57	критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда сравниваем с двумя соседними.
58	Если он больше (либо меньше) обеих соседних уровней , то он является поворотной точкой
59	и тогда в столбце 4 рядом с ним ставим 1. В первой и последней строку ставим прочерки т.к. у
60	этих уровней нет двух соседних уровней . Общее число поворотных точек равно									1
61	Оно приведено в последней строке таблицы, Обозначим его через р
62	Рассчитаем q = ЦЕЛОЕ{ 2 (N-2)/3 - 2КОРЕНЬ[(16*N - 29)/90] } =
63	= ЦЕЛОЕ{		2.40589	} =	2
64	Критерия состоит в том: что если p>q то условие случайности уровней выполнено
65	Поскольку неравенство			p>q	есть	False	то на вопрос
66	СВОЙСТВО СЛУЧАЙНОСТИ ВЫПОЛНЕНО?					ОТВЕЧАЕМ :
67	2. Проверка НЕЗАВИСИМОСТИ (ОТСУТСТВИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ)
68		Проверку проводим двумя методами а) по d-критерию Дарбина-Уотсона ;
69		б) по первому коэффициетну автокорреляции r(1).
70	Проверка независимоти по d-критерию Дарбина-Уотсона
71		Для проверки по d-критерию Дарбина-Уотсона рассчитали значение d							и если полученное
72	значение больше 2 то находим уточненное значение равное 4-d							Значение d равно:
73	d= [СУММ (E(t) - E(t-1))^2] / (СУММ(E(t)^2)=					12.45	/	12.05	1.03
74						Уточненное значение d =
75	Находим из таблиц d1 и d2, для N=9					d1=	1.08	d2=	1.36
76	В зависимости от соотношения между рассчетной величиной d (при необходимости уточненной)
77	и табличными значениями d1 и d2 делаем заключение по пиведенной ниже логической схеме
78	Условие		Выпол	Заключение об адекватности модели
79			нение
80	0<d<d1		TRUE	УРОВНИ АВТОКОРРЕЛИРОВАНЫ,МОДЕЛЬ НЕАДЕКВАТНА
81	d2<d<2		FALSE
82	d1<d<d2		FALSE
83	СВОЙСТВО НЕЗАВИСИМОСТИ ВЫПОЛНЕНО? ОТВЕТ:
84
85	Проверка независимости по первому коэффициенту автокорелляции r(1)
86	Рассчитали r(1) по формуле
87	r(1)= [СУММ (E(t)* E(t-1))] / [СУММ(E(t)^2]=					1.55	/	12.05
88	Находим из таблиц r ,при N<15 r=				0.36
89	В зависимости от соотношения между рассчетной величиной r(1) и r табличным находим
90	Условие		Выпол	Заключение об адекватности модели
91			нение
92	\|r(1)\|>r		FALSE
93	abs(r(1))<r		TRUE	УРОВНИ НЕЗАВИСИМЫ:МОДЕЛЬ АДЕКВАТНА
94	СВОЙСТВО НЕЗАВИСИМОСТИ ВЫПОЛНЕНО? ОТВЕТ:
95
96	3. Соответствие ряда остатков нормальному распределению
97	определяем по RS - критерию
98	Определим RS=(Emax - Emin)/S_е =
99	где		Emax есть максимильлное, а			Emin минимальное значение E(t) (гр. 3 табл.1.2)
100	У нас		Emax=	0.98		Emin =	-2.54	Emax-Emin =		3.52
101	S_е - CКО_е (средн. квадр. отклонение) рассчитывают по формуле S_е= корень[(E(t)-E_cp)² / (N-1)] =
102				=	12.05	/	8	=	1.23
103	Для N=10 и 5% уровня значимости интервал должен быть от 2,7 до 3,7
104	Заключение о соответствии ряда остатков нормальному распределению
105	Условие		Выпол	Заключение об адекватности модели
106			нение
107	2,7<RS<3,7		TRUE	ГИПОТЕЗА О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРИНИМАЕТСЯ
108	СВОЙСТВО НОРМАЛЬНОСТИ ВЫПОЛНЕНО? ОТВЕТ:
109
110	4.Характеристика точности
111	Средняя по модулю относительная погрешность рассчитывалась из соотношения
112	Eотн,сред= СУММ{abs(E(t))/Yр(t)x100%} / N =						117.39	/9=	13.04
113	Условие		Выпол	Заключение о точности модели
114			нение
115	Eотн.ср.<5%		False	УРОВЕНЬ ТОЧНОСТИ НЕУДОВЛЕТВОРИТЕЛЬНЫЙ
116
117	Точечный прогноз на k шагов вперед
118	Точечный прогноз на k шагов вперед делаем с использованием ф-лы 1.0, учитывая ,что
119	для одного шага			k=1, t=10 , а для		двух шагов		k=2, t=11
120	Yp(10) = a0+a1*10 =			14.65	(k=1)
121	Yp(11) = a0+a1*11 =			15.27	(k=2)
122
123	Для нахождения интервального прогноза необходимо определить погрешность по ф-ле
124
125									(1.5)
126	Верхняя граница прогноза = Yp + U(k)
127
128	S_Т - CКО_Т (средн. квадр. Отклонение от линии тренда) рассчитывают по формуле
129	S_Т= корень[E(t)² / (N-1)] =				12.05	/	8	=	1.23
130	Kp- табл.знач. статистики Стьюдента . Для доверительной вероятн/ 70% Kp=								1.62
131	U(1)=	2.46		U(2)=	2.60
132	Нижняя граница прогноза = Yp(9+k) - U(k)					(для t=10,k=1 а для t=11,k=2)
133	Верхняя граница прогноза = Yp(9+k) + U(k)					(для t=10,k=1 а для t=11,k=2)