Дифференциальные уравнения

Рис. 2.

Дифференциальные  уравнения в частных  производных.

Обыкновенное дифференциальное уравнение – это некоторое  утверждение о производной неизвестной  функции одной переменной. Дифференциальное уравнение в частных производных  содержит функцию двух или более  переменных и производные от этой функции по крайней мере по двум различных переменным.

В физике примерами  таких уравнений являются уравнение  Лапласа

где, согласно одной  из возможных интерпретаций, u – температура в плоской области, точки которой задаются координатами x и y; уравнение теплопроводности

где t – время, x – расстояние от одного из концов однородного стержня, по которому распространяется тепловой поток; и волновое уравнение

где t – снова время, x и y – координаты точки колеблющейся струны.

Решая дифференциальные уравнения в частных производных, обычно не стремятся найти общее  решение, поскольку оно скорее всего окажется слишком общим, чтобы быть полезным. Если решение обыкновенного дифференциального уравнения определяется заданием условий в одной или нескольких точках; то решение дифференциального уравнения в частных производных обычно определяется заданием условий на одной или нескольких кривых. Например, решение уравнения Лапласа может быть найдено в точке (x, y) внутри круга, если значения u заданы в каждой точке ограничивающей окружности. Поскольку проблемы с более чем одной переменной в физике являются скорее правилом, чем исключением, легко представить, сколь обширен предмет теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Литература 

Тихонов А.Н., Самарский  А.А. Уравнения математической физики. М., 1977 
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1982 
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1984 
Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., 1986