Контрольная работа по “Математические методы и модели в управлении”

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Ивановский Государственный энергетический университет

им. В.И. Ленина”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по курсу

“Математические методы и модели в управлении”

 

Вариант 8.

 

Выполнила студентка

ФЭУ 3курса гр.53з

 

Проверила:

кандидат 

эк. наук, доцент.

 

 

                                        Иваново 2012

Задача 1.

Решить графическим методом  следующую задачу линейного программирования:

,

,

,

,

.

 

Решение:

1. Определим множество решений  первого неравенства. Оно состоит  из решения уравнения и строгого  неравенства. Решением уравнения  служат точки прямой  . Построим прямую по двум точкам (0;3) и (-3;0), которые получаются в результате последовательного обнуления одной из переменных. На рис. Обозначим ее цифрой (1). Множество решений строгого неравенства – одна из полуплоскостей, на которые делит плоскость построенная прямая. Подставив координаты (0;0) в неравенство, получим 0≤3, т.е. неравенство выполняется. Следовательно, областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.

Аналогичным образом построим области  решения других неравенств:

, х₁=0, х₂=7, х₂=0, х₁=7 (на рис. прямая (2).

 при х₁ =х₂=0, 0≤21 выполняется, берется нижняя полуплоскость.

, х₁=0, х₂=15, х₂=0, х₁=5 (на рис. прямая (3).

 при х₁ =х₂=0, 0≤15 выполняется, берется нижняя полуплоскость.

Заштрихуем общую плоскость  для всех неравенств, обозначим вершины  многоугольника.

2. Приравняем целевую  функцию постоянной величине  а:  . Это уравнение является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равное а. Пусть а=0, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению . В качестве одной из этих точек удобно взять (0;0), при х₁=6, х₂= -2. Через эти две точки проведем линию уровня .

Для определения направления  движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными функции f(х), т.е. =(2;6).

3. Осуществляем движение  линии уровня до ее пересечения  с максимальной точкой, далее линия выходит из области допустимых решений. Следовательно, именно в этой точке достигается максимум целевой функции. Определим координаты точки решая систему двух пересекающихся прямых (1 и 2 на рис.).

В результате получаем, что  точка имеет координаты (2;5).

Отсюда легко записать решение исходной задачи:

и достигается при х₁=2, х₂=5.

Рис. 1.  Графический метод решения задачи линейного программирования

 

Ответ: достигается при х₁=2, х₂=5.

 

 

Задача 2.

Для производства двух видов продукции  требуются три вида сырья. Количество сырья ограничено. Исходные данные приведены в таблице:

Тип сырья	Расход сырья на единицу  продукции, кг/ед.прод.		Количество сырья, кг.
	П1	П2
С1	1	3	12
С2	4	1	15
С3	1	1	10
Прибыль, руб./ед.прод.	4	2

Сформулировать экономико-математическую модель задачи на максимум прибыли  и найти оптимальный объем производства продукции П1, П2, используя симплексный метод решения задач линейного программирования.

 

Решение:

Составить план производства продукции  с целью максимизации прибыли.

С учетом этих обозначений математическая модель задачи примет вид:

 при ограничениях

 

1. Приведем эту задачу  к каноническому виду, введя дополнительные  переменные х₃, х₄, х₅.

или:

2. Определим опорный  план.

Задача обладает исходным опорным планом (0,0,0,12,15), и ее можно решить симплекс-методом, составив симплекс-таблицу.

Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x3	12	1	1	1	0	0
x4	15	4	1	0	1	0
x5	10	1	1	0	0	1
ИС	0	-4	-2	0	0	0

3. Проверяем план на  оптимальность. В исходной симплекс-таблице  определяется строка оценок:

Δ₁=z₁-c₁=0*3+0*4-4=-4

Δ₂=z₂-c₂=0*2+0*1-2=-2

Исходный опорный план (0,0,0,12,15) не является оптимальным, т.к. Δ_1,2≤0.

4. Осуществим переход  к новому опорному плану. Выбран ключевой элемент (2,1).

Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x3	33/4	0	3/4	1	-1/4	0
x1	15/4	1	1/4	0	1/4	0
x5	25/4	0	3/4	0	-1/4	1
ИС	15	0	-1	0	1	0

Проверяем план на оптимальность. План не является оптимальным, т.к. Δ₂≤0

5. Переходим к следующему  опорному плану. Выбран ключевой элемент (3,2)

Базис	БП	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5
x3	2	0	0	1	0	-1
x1	5/3	1	0	0	1/3	-1/3
x2	25/3	0	1	0	-1/3	4/3
ИС	70/3	0	0	0	2/3	4/3

 

Рассчитаем оценки. Теперь они все неотрицательные. В результате получаем оптимальный план (5/3; 25/3), т.е. предприятие будет иметь прибыль в размере 70/3 ден. ед.

Ответ: 70/3 ден. ед.

 

 

 

Задача 3.

Решить следующую транспортную задачу:

А=(45; 50; 40), В=(65;35;25;10), ,  
где А - вектор мощностей поставщиков, В – вектор мощностей потребителей, С – матрица транспортных издержек на единицу груза.

 

Решение:

Составить план перевозки, обеспечивающий пробег транспорта в тонно-километрах при условии, что все запасы должны быть вывезены, а потребитель получит точно необходимое количество груза.

 

Воспользуемся методом  минимального элемента.

Минимальный элемент  находится во многих клетках. Начнем с клетки (1;3):

(1;3) min(30; 25)=25

Ставим в клетку 25 и  закрываем первую строку. В третьем  столбце остаток составляет 30-25=5, а минимальная цена перевозки  в клетке (2;3). Ставим туда остаток  и закрываем первый столбец.

Следующая клетка с минимальной стоимостью перевозок (3;2).

В первой строке осталось 20-10=10, и стоимость перевозки ниже в клетке (1;2), размещаем в ней  остаток. min(15; 40)=15 ставим в эту клетку.

В первом столбце есть остаток 30-15=15 ставим в (3;1) и закрываем  столбец.

В оставшиеся клетки вносим остатки по строкам и столбцам.

2. Проверим оптимальность  плана перевозок методом потенциалов.

Оценки занятых клеток приравняем к нулю.

Δ₁₃=U₁+V₃-с₁₃ => U₁+V₃=1,

Δ₂₁=U₂+V₁-с₂₁ => U₂+V₁=2,

Δ₂₃=U₂+V₃-с₂₃ => U₂+V₃=2,

Δ₂₄=U₂+V₄-с₂₄ => U₂+V₄=1,

Δ₃₁=U₃+V₁-с₃₁ => U₃+V₁=4,

Δ₃₂=U₃+V₂-с₃₂ => U₃+V₂=1,

Δ₃₄=U₃+V₄-с₃₄ => U₃+V₄=2.

Пусть U₁=0, тогда U₂=1, U₃=3,  V₁=1, V₂=-2, V₃=1, V₄=-1.

Рассчитаем оценки свободных  ячеек:

Δ₁₁=U₁+V₁-с₁₁ =-2,

Δ₁₂=U₁+V₂-с₁₂ =-4,

Δ₂₂=U₂+V₂-с₂₂ =-2,

Δ₁₄=U₁+V₄-с₁₄ =-2,

Δ₃₃=U₃+V₃-с₃₃ =-4,

План не оптимален, перейдём к новому.

Оценки свободных ячеек Δ_ij≤0 – следовательно, план оптимален.

Итак, стоимость перевозок  по этому плану составит f(x)=3*35+3*10+7*25+8*15+4*10+6*40=700.

 

Ответ: 700.

 

 

 

Задача 4.

В швейном ателье работают 3 закройщика. В среднем в течение рабочего дня (8 часов) в соответствии с пуассоновским распределением поступает 5 заказов. Каждый мастер успевает выполнить 2 заказа в течение дня, и продолжительность выполнения заказа распределена по экспоненциальному закону. Требуется определить:

а) вероятность того, что  все закройщики свободны от работы;

б) вероятность того, что все  закройщики будут заняты;

в) среднюю длину очереди в  ожидании выполнения заказа;

г) среднее время ожидания каждого заказа в очереди.

 

Решение:

За единицу времени  примем 8 часов, следовательно, среднее  число требований, поступающих за единицу времени λ=5 заказов поступает  за день.

Показатель загрузки системы 

Так как α>n, то очередь может расти безгранично.

А) Вероятность того, что все закройщики свободны:

.

Б) Вероятность того, что  все мастера будут заняты:

В) Средняя длина очереди  в ожидании ремонта:

 шт.

Г) Среднее время ожидания каждой начала ремонта:

часов.

 

Ответ: А) 0,045, Б) 0,70, В) 0,23 шт, Г) 20 часов.

 

 

 

Задача 5.

На основании данных, приведенных  в таблице, рассчитать коэффициенты полных материальных затрат и объемы валовой продукции отраслей.

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат		Конечная продукция
	1	2
1	0,1	0,7	70
2	0,2	0,3	50

 

 

Решение:

Для дальнейшего решения  находим матрицу:

.

Вычислим для нее  обратную, т.е. коэффициенты полных материальных затрат:

.

Ответ: а) ;  б) .