Теорема 2 (о дополнительной нежесткости). Для того чтобы план X^* и Y^* являлись оптимальными решениями соответственно задач линейного программирования и двойственной к ним необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

        для всех 

        для всех

     Теорема 3 (об оценках). Значение переменных в оптимальном решении двойственной задачи представляет собой оценки влияния свободных членов b_i в системе ограничения прямой задачи на величину целевой функции F(X^*):

      .

 

     3.2 Определение интервалов  устойчивости оптимальных  двойственных оценок  ресурсов

      Важнейшим сегментом рынка для предприятий  трубной промышленности России является рынок труб большого диаметра (ТБД), потребителями которых выступают нефтегазовые компании и, в первую очередь, Газпром. Основные виды ТБД, производимые на одном из предприятии ОАО «Трубная Металлургическая Компания» (ТМК), выпускаются трубоэлектросварочным цехом (ТЭСЦ). Это – трубы с диаметром 530, 630 – 820 и 1020 – 1220 мм, составляющие около 75% всех выпускаемых цехом труб. К основным материалам, используемым в технологическом процессе их производства, относятся штрипс с соответствующей маркой стали, проволока СВ – 10 ГА с диаметром 3 мм и флюс марки АН – 60 и занимают более 80% суммарных затрат, всех используемых в производстве материальных ресурсов.

      На  основе обработки фактических данных, отражающих нормы расхода каждого  вида материального ресурса на соответствующий  вид трубы, их наличие на складе, цены реализации одной тонны трубы, производственные мощности по их выпуску в расчете на один месяц и минимально задаваемые объемы производства, автором сформулирована оптимизационная задача эффективного использования основных материальных ресурсов.

      Итак, для построения оптимального плана производства труб с диаметром 530, 630 – 820  и  1020 –1220 мм  на основе критерия максимизации суммарного дохода (выручки от реализации) были использованы фактические материалы работы ТЭСЦ, которые отражены в таблице 3.1. [6, с. 63] 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 3.1 — Нормы расхода материалов (в тоннах на тонну трубы), запасы материалов на декабрь 2010 года (тонн) и минимально задаваемые трубным холдингом цены реализации с НДС (руб./т)

 

      Примечание  — Источник: [6, с. 63]

      Пусть — искомые объемы выпуска труб соответственно с диаметром 530, 630–820 и 1020–1220 мм (в дальнейшем будем пользоваться обозначениями 530, 630 – 820 и 1020 – 1220 мм), тогда ЭММ оптимального выпуска труб с критерием максимизации суммарного дохода и с учетом ограничений по ресурсам и производству продукции примет вид: 

 

 

 

      Двойственная  задача, которая характеризует эффективность  производственного потребления материальных ресурсов, приобретает вид:

 

 

 

     Оптимальные двойственные оценки ресурсов и продукции  в определенных интервалах изменения их размеров потребления и выпуска неизменны (устойчивы). Поэтому они в пределах устойчивости служат показателями экономической эффективности использования материальных ресурсов и мерой приоритетности выпуска труб (в том смысле, что они увеличивают доход предприятия). Интервалы устойчивости оптимальных двойственных оценок ресурсов определяются на основе следующего матричного неравенства [6, с. 65]: 

 

где — искомые величины изменения ресурсов, при которых значения оптимальных двойственных оценок неизменны (устойчивы).

     В соответствии с матричным неравенством можно определить интервалы устойчивости двойственных оценок ресурсов при прочих равных условиях. 

= (A₂, A₃, A₆) =  ; 

 =  ; 

 

     Интервалы устойчивости оптимальных двойственных оценок материальных ресурсов и видов труб представлены в таблице 3.2. Оптимальные оценки каждого вида продукции используются в анализе эффективности изменения их выпуска исключительно в рамках задаваемых пределов.  

Таблица 3.2 — Интервалы устойчивости оптимальных двойственных оценок  ресурсов и продукции, тонн

 

Примечание —  Источник: [6, с. 65]

     В итоге, фундаментальный набор решений исходной системы неравенств принимает следующий вид:

для любых  и хотя бы при одном из

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     В экономике в той или иной степени  используется математический аппарат: анализируются графики различных  зависимостей, приводится математическая обработка тех или иных статистических данных и т.д. Центральная проблема экономики — это проблема рационального выбора.

     Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы и т.д. Математически  ограничения выражаются в виде уравнений  и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область  экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно, возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.

     Значительное  число задач, возникающих в обществе, связано с управляемыми явлениями, т.е. с явлениями, регулируемыми на основе сознательно принимаемых решений. При том ограниченном объеме информации, который был доступен на ранних этапах развития общества, принималось оптимальное в некотором смысле решение на основании интуиции и опыта, а затем, с возрастанием объема информации об изучаемом явлении, - с помощью ряда прямых расчетов. Так происходило, например, создание календарных планов работы промышленных предприятий.

     Совершенно  иная картина возникает на современном  промышленном предприятии с многосерийным  и многономенклатурным производством, когда объем входной информации столь велик, что его обработка с целью принятия определенного решения невозможна без применения компьютеров. Еще большие трудности возникают в связи с задачей о принятии наилучшего решения. Проблема принятия решений в исследовании операций неразрывно связана с процессом моделирования.

     Первый  этап процесса моделирования состоит  в построении качественной модели. Второй этап - построение математической модели paccматриваемой проблемы. Этот этап включает также построение целевой функции, т. е. такой числовой характеристики, большему (или меньшему) значению которой соответствует лучшая ситуация с точки зрения принимающего решения. Итак, в результате этих двух этапов формируется соответствующая математическая задача.

     Третий  этап - исследование влияния переменных на значение целевой функции. Этот этап предусматривает владение математическим аппаратом для решения математических задач, возникающих на втором этапе процесса принятия решения.

     Четвертый этап - сопоставление результатов  вычислений, полученных на третьем этапе, с моделируемым объектом, т. е. экспертная проверка результатов (критерий практики). Таким образом, на этом этапе устанавливается степень адекватности модели и моделируемого объекта в пределах точности исходной информации.

     Широкий класс задач управления составляют такие экстремальные задачи, в математических моделях которых условия на переменные задаются равенствами и неравенствами. Теория и методы решения этих задач как раз и составляют содержание математического программирования.

     Один из разделов математического программирования — линейное программирование. Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.

     Начало  линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Канторовичем в работе «Математические методы организации и планирования производства». Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в экономике.

     В работе отражена сущность систем линейных однородных и неоднородных неравенств, методы построения их фундаментальных наборов решений, содержание прямой и двойственной задач линейного программирования.

     На  примере задачи линейной оптимизации, описанной в подразделе 3.2, автор  применил методы решения линейной неоднородной системы неравенств в оценке эффективности затрат ресурсов.

 

Список  использованных источников

1. Солодовников, А.С. Системы линейных неравенств / А.С. Солодовников. — 2-е изд. — М.: Изд-во «Наука», 1977. — 112 с.
2. Солодовников, А.С. Математика в экономике: в 2 ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов. — М.: Финансы и статистика, 1999. — Ч. 1. — 224 с.
3. Сборник задач по курсу математики / А.С. Солодовников [и др.]; под ред. А.С. Солодовникова, А.В. Браилова. — М.: ФА, 2001.
4. Черников, С.Н. Линейные неравенства / С.Н. Черников. М.: Изд-во «Наука», 1968. — 448 с.
5. Березина, Н.А. Линейная алгебра: конспект лекций / Н.А. Березина. — М.: Эксмо, 2007. — 128 с.
6. Читая, Г. О. Оптимизация выпуска изделий и использования производственных ресурсов на промышленном предприятии / Г. О. Читая // Справочник экономиста. — 2009. — № 5. — С. 60—68