Ответы на вопросы по линейным уравнениям

1. Как называется метод решения систем линейных уравнений с помощью определителей? 
 
Теорема Крамера. 
 
2. Какая система линейных уравнений может быть решена с помощью формул Крамера и когда это решение существует? 
 
С помощью формул Крамера может быть решена та система, в которой число неизвестных равно числу уравнений. 
 
Это решение существует только тогда, когда определитель СЛУ не равен нулю. 
 
3. Перечислите недостатки методов решения СЛУ с помощью обратной матрицы и с помощью формул Крамера. 
 
1) Трудоёмкость 
2) Не универсальность 
3) Не позволяют найти все решения системы в случае, если она не определена. 
4) В случае однородной системы, позволяют найти только тривиальное решение системы, которое и так известно. 
 
4. Назовите универсальный, на Ваш взгляд, метод решения систем линейных уравнений. 
 
Метод Гаусса. 
 
5. В чем заключается суть метода Гаусса решения СЛУ? 
 
Суть заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований от системы АХ=В перейти к равносильной системе A'X=B', расширенная матрица которой имеет расширенную форму. 
 
6. В каком случае nxn система линейных уравнений будет совместна и определена? 
 
В случае, если число оставшихся в расширенной матрице уравнений равно числу неизвестных. 
 
7. Сформулируйте критерий совместности системы линейных уравнений. 
 
Система линейных уравнений АХ=В совместна, если ранг матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы, т.е. если: rang(A) = rang(A| B) = r, причем, 
 
• если r=n (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение (которое можно найти по формулам Крамера); 
 
• если r < n, то система имеет бесчисленное множество решений. 
 
8. Как определить, будет ли однородная nxn система линейных уравнений иметь нетривиальные решения? 
 
Для того, чтобы однородная система уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы А был равен нулю ( либо чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. r <n ). 
 
9. Сколько решений будет иметь nxn система линейных уравнений, если все строки матрицы коэффициентов системы линейно независимы? 
 
Одно единственное решение.