Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

     Например: изучение переместительного закона сложения натуральных чисел учащиеся на частных примерах 2+7=7+2=9 убеждаются в справедливости свойства a+b=b Q, используя индукцию; применяя этот закон для облегчения вычисления (1+42=42+1=43) учащиеся уже действуют дедуктивным путем.

• Метод совершенной индукции выражает взаимосвязь индукции и дедукции и используется тогда когда возникает необходимость дать логическое обоснование выводу, полученному индуктивным путем. Он осуществляется с помощью последовательно проводимых этапов:

1) наблюдение  и опыт;

2) гипотеза;

3) обоснование  (доказательство) гипотезы.

     Например, требуется установить, сколькими  способами можно совершить перестановку n элементов некоторого конечного множества.

     Выше  были описаны методы обучения математике, каждый из которых применим к тому или иному типу урока. Теперь рассмотрим существующие типы уроков.

 

     § 3 Типы уроков 

1. Урок  изучения нового материала

     Сюда  входят вводная и вступительная  части, наблюдения и сбор материалов - как методические варианты уроков:

     Урок - лекция

     Урок - беседа

     Урок  с использованием учебного кинофильма

     Урок  теоретических или практических самостоятельных работ(исследовательского типа)

     Урок  смешанный(сочетание различных видов урока на одном уроке) 

2. Уроки совершенствования  знаний, умений и  навыков

     Сюда  входят уроки формирования умений и  навыков, целевого применения усвоенного и др.:

     Урок  самостоятельных работ 

     Урок - лабораторная работа

     Урок  практических работ 

     Урок - экскурсия 

     Семинар  

3. Урок  обобщения и систематизации

     Сюда  входят основные виды всех пяти типов уроков. 

4. Уроки контрольные учета  и оценки знаний , умений и навыков:

     устная форма проверки(фронтальный, индивидуальный и групповой опрос)

     письменная  проверка

     зачет

     зачетные  практические и лабораторные работы

     контрольная ( самостоятельная) работа

     смешанный урок( сочетание трех первых видов)  

5. Комбинированные уроки.

 

Ориентируясь  на тему данной работы, подробно рассмотрим особенности школьной лекции. 

     § 4 Сущность урока-лекции и обоснование его применения к изучению темы «Равносильные уравнения и уравнение-следствие» 

     Урок-лекция относится к типу уроков формирования новых знаний.

     Уроки формирования новых знаний также конструируются в формах:

     урок-путешествие;

     урок-экспедиция;

     урок-исследование;

     урок-инсценировка;

     учебная конференция;

     урок-экскурсия;

     мультимедиа- урок;

     проблемный  урок.

     Структура урока сочетает этапы: организационный, постановки цели, актуализации знаний, введения знаний, обобщения первичного закрепления и систематизации знаний, подведения итогов обучения, определения домашнего задания и инструктажа по его выполнению.

     Цель  урока формирования знаний - организация работы по усвоению ими понятий, научных фактов, предусмотренных учебной программой.

     Задачи:

• образовательные: познакомить; дать представление; научить чтению и анализу предоставленного материала; активизировать познавательную активность; раскрыть типичные черты и.т.д.
• воспитательные: эстетическое воспитание и т.д.
• развивающие: продолжить развитие умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, выделять главное, устанавливать причинно-следственные связи; приводить примеры, формировать умения работы с дополнительным материалом (таблицами и т.д.).

 

     В вертикальной педагогике – методе обучения школьников математике, созданном белорецким педагогом Р. Г. Хазанкиным в конце 1970-х годов -  используется система совместной работы учащихся и учителя, включающая в себя:

     проведение  уроков-лекций с целью изучения новой  темы крупным блоком, активизации  мышления школьников при изучении нового, экономии времени для дальнейшей творческой работы;

     проведение  уроков решения ключевых задач по теме. Учитель (вместе с учащимися) вычленяет  минимальное число задач, на которых  реализуется изученная теория, учит распознавать и решать ключевые задачи;

     проведение  уроков-консультаций, на которых вопросы  задают ученики, а отвечает на них  учитель;

     проведение  зачетных уроков, целью которых является организация индивидуальной помощи учащимся, постепенная подготовка их к решению более сложных задач, контроль усвоения пройденной темы.

     Рассмотрим урок-лекцию с точки зрения Хазанкина Р. Г.

     Урок-лекция – это, прежде всего, урок приобщения школьников к творческой деятельности на учебном материале. Это урок соразмышления  учителя и учеников. Он должен быть подготовлен и проведен таким  образом, чтобы, с одной стороны, крупным блоком была рассмотрена  целая тема, был бы обеспечен высокий  научный уровень изучаемого материала, и, с другой стороны, были бы обеспечены доступность, изящество и красота. Именно в ходе лекции пробуждается интерес к математике. Однако это  возможно лишь только тогда, когда лекция очень далека от пересказа параграфа из школьного учебника.

     Во  время лекции рассказ учителя  сочетается с вопросом к классу: «А как вы думаете? Предложите свои варианты. Приведите опровергающий  пример, попробуйте доказать самостоятельно, повторить доказательство, сформулируйте  правило, определение или теорему. Кто может данное утверждение  обобщить? Нет ли у кого другого  доказательства?». Такие вопросы  стимулируют учащихся к активной работе мысли на уроке, помогают им не «выключаться» из процесса познания. Как бы хорошо ни была подготовлена лекция и как бы ни было высоко желание  учителя успеть на уроке изучить  целостный кусок учебного материала, он должен прерывать свою лекцию вопросами: «Кому не понятно? Где не понятно? Кому понятно?» Важно, чтобы учитель  не просто констатировал понимание  или непонимание, а побуждал школьников к тому, чтобы они признавались, где и что им непонятно. В каждом таком случае, когда школьник поднимает  руку и просит повторить какое-либо утверждение или доказательство всей теоремы, учитель не должен раздражаться, наоборот, очень доброжелательно  и с большим уважением к  задавшему вопрос должен повторить  всё сначала, но более обстоятельно, после чего осведомиться удовлетворён ли ученик ответом учителя. Очень  важно – создавать такую атмосферу  на уроках, когда ученики не боятся «ляпнуть глупость», задать любой вопрос а, наоборот, пытаются дать ответ на вопрос учителя или товарища. Пусть  лучше учитель не успеет изучить  на уроке что-то из запланированного, чем недовольным тоном прервет  ученика, задавшего вопрос, или вовсе  не допустит вопросов.

     Из  всех типов уроков урок-лекция –  самый трудный, даже для опытного учителя. Во-первых, этот урок требует  от учителя большой подготовки. Во-вторых, в ходе лекции учителю приходится раздваиваться, а именно, с одной  стороны, он должен выступать в роли блестящего лектора, а с другой стороны, ему необходимо держать в поле зрения всех учеников и постоянно  управлять их деятельностью. Сложность  урока-лекции определяется и тем  обстоятельством, что в ходе данного  урока необходимо решить целый комплекс задач, взаимосвязанных друг с другом:

     заинтересовать  учащихся материалом лекции;

     добиться  понимания сути изучаемого вопроса  в процессе объяснения;

     познакомить учащихся с методами математических исследований, которые используется в изучаемой теме;

     заложить  основы не только для решения задач, но и для доступной учащимся творческой деятельности;

     ознакомить  ребят с литературой, которую  можно использовать для закрепления  и углубления материала лекции.

     Условно все школьные лекции можно разделить  на обзорные, учебные, обобщающие. Как  правило, первые выполняют логико-методологическую функцию, вторые - информационно-познавательную, третьи - мировоззренческую.

     Работа  учащихся на лекции тем эффективнее, чем теснее деловой контакт с  преподавателем; последний, видя реакцию  школьников, может регулировать темп рассказа: усложнить или упростить  изложение, сократить один раздел и  усилить другой, что-то повторить, подчеркнуть, разъяснить. Учащихся нужно готовить к предстоящей лекции, а для  этого им надо разъяснить, как слушать  и записывать, как работать с лекционным материалом. Важно объявить цели и  задачи, сообщить структуру изложения  и, конечно, определить цепь приемов  активизации познавательной деятельности учеников и меры обратной связи с  аудиторией (контроля за вниманием, пониманием и т.д.).

     Изучив  труды Хазанкина Р.Г. и иную литературу по данной теме, можно сделать следующие  выводы:

     Лекция - это метод сообщения новых  знаний; ее отличает высокая целенаправленность и большая информативность. Лекция обладает способностью показать личностное отношение педагога к учебному материалу. Ее воздействие на ученика осуществляется двояко: содержанием и эмоциональной  выразительностью речи. В ходе лекции педагог не только передает новую  научную информацию в систематическом  целостном виде, но и может вскрыть  многие связи - с другими предметами, проблемами и практикой. Он учит мыслить, анализировать, доказывать, делать обобщения  и выводы; в этом смысле лекция для  учащихся - образец рассказа. Монологическое изложение позволяет учителю развивать внимание школьников, умение выделять главное, а эти качества важны и для последующего самообразования, и для любой профессии.

     В старших классах, когда большинство  ребят готовятся к поступлению  в ВУЗы, перед учителем встает задача не только подготовить их к успешной сдаче экзаменов, но и сформировать у них навыки, которые пригодятся им во время дальнейшего обучения: написание реферата, запись лекции, составление конспекта, плана, тезисов  и так далее.

     Школьную  лекцию целесообразно применять  в том случае, когда объём излагаемого  материала достаточно велик. Уравнения и неравенства в школьном курсе алгебры занимают одно из ведущих мест. На их изучение отводится много времени. Уравнения имеют не только важное теоретическое значение, но и служат практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводятся к решению различных видов уравнений.

       Известно, что линия уравнений  и неравенств тесно связана  с числовой линией: в ряде случаев  необходимость расширения числовых  множеств связана с разрешением  уравнений и неравенств; с другой  стороны, расширение числового  множества позволяет составлять  и решать новые типы уравнений,  неравенств и их систем.

     Кроме того, линия уравнений и неравенств связана и с функциональной линией: методы, разработанные в теории уравнений  и неравенств, применимы к исследованию функций; в свою очередь аппарат  линии функций используется в  исследовании уравнений, неравенств и  их систем.

     Следует также отметить связь линии уравнений  и неравенств с теорией тождественных  преобразований: владение содержанием  линии уравнений и неравенств позволяет расширить список преобразований; теория тождественных преобразований приобретает новое содержание и  смысл при изучении равносильных преобразований уравнений.  
 

§ 5 Понятие  о равносильности уравнений и  неравенств. Теоремы  о равносильности 

    Уравнения и неравенства представляют интерес  для изучения, так как именно с  их помощью на символическом языке  записываются задачи, связанные с  познанием реальной действительности. Этой ролью уравнений и неравенств в естествознании и определяется их роль в школьном курсе математики. Кроме того, при изучении любой  темы уравнения и неравенства  могут быть использованы  как  эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся. Это способствует развитию сообразительности, находчивости и  инициативности учеников.