Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

• изучение каждого из классов имеет определенную нагрузку в формировании понятия «решение уравнений», постепенно обогащает алгоритмический и эвристический опыт учащихся. 
  

     Общая идея решения любого уравнения, не являющегося простейшим уравнением какого-либо типа

       Решение любого уравнения осуществляется  в два этапа:

1. Преобразование данного уравнения (неравенства) к простейшему виду – эвристический этап.
2. Решение простейшего уравнения (неравенства) по известным формулам, алгоритмам или правилам – алгоритмический этап.

 

Основное направление  процесса формирования обобщенных приемов  решения уравнений и неравенств

• Организация имеющихся у учащихся знаний и опыта в единую целостную систему, позволяющую распознавать возможности сведения более сложных уравнений к простейшим известных типов.

 

Задания на формирование умения определять  способ решения уравнения

• для группы уравнений указать возможный способ решения (сами решения не приводить);
• после предварительного анализа внешнего вида уравнения и способа решения решить уравнение.

 

Основные приемы преобразования уравнений

• раскрытие скобок;
• перенос слагаемых;
• приведение подобных слагаемых;
• умножение обеих частей уравнения на выражение или число, отличное от нуля;
• возведение в степень.

 

Основные методы решения уравнений

• разложение на множители;
• замена переменных;
• сведение к системе уравнений и неравенств;
• функциональный;
• графический.

 

          С точки зрения деятельностного  подхода к обучению, именно на  формирование обобщенных приемов  решения уравнений и следует  обратить основное внимание. 

Основные обобщенные приемы решения уравнений и неравенств, формируемые в школьном курсе математики 

5-6 класс:

• обобщенный прием решения уравнений первой

     степени с одной переменной;

• обобщенный прием решения уравнений с модулем.

 

7-9 класс: 

• обобщенный прием решения неравенств первой степени с одной переменной и их систем;
• обобщенный прием решения уравнений и неравенств второй степени с одной переменной;
• обобщенный прием решения рациональных уравнений с одной переменной;
• обобщенный прием решения дробно-рациональных уравнений с одной переменной;
• обобщенный прием решения иррациональных уравнений с одной переменной.

 

10-11 класс:

• обобщенный прием решения иррациональных  неравенств с одной переменной;
• обобщенный прием решения показательных  уравнений и неравенств;
• обобщенный прием решения логарифмических уравнений и неравенств;
• обобщенный прием решения тригонометрических уравнений и неравенств.

 

Обобщенный  прием решения линейных уравнений (неравенств) с одной переменной

1. Определить, является ли уравнение (неравенство) линейным, т.е.  вида  ах + b  = 0  (ах + b> 0), а ≠ 0

если «да», то

2. Найти  х = - b/а (х > - b/а, а >0 и х <- b/а, а < 0 ).
3. Записать ответ.

если «нет», то

2. Установить, какие из следующих тождественных  и равносильных преобразований  нужно выполнить, чтобы привести  уравнение (неравенство) к линейному: 

• перенос слагаемых из одной части уравнения в другую,
• приведение подобных  слагаемых,
• раскрытие скобок,
• разложение на множители .

3.  Привести  с помощью выбранных преобразований  уравнение (неравенство) к линейному.

4.  Найти   х = - b/а (х > - b/а, а >0 и х <- b/а, а < 0 ).

5.  Записать  ответ. 

Этапы процесса обобщения приемов решения уравнений

1. решение простейших уравнений данного вида;
2. анализ действий, необходимых для их решения;
3. вывод алгоритма (правила, формулы) решения и запоминание его;
4. решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;
5. анализ действий, необходимых для их решения;
6. формулировка частного приема решения;
7. применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца;
8. работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;
9. сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщенного приема решения;
10. применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

 

Метод «уравнений и неравенств» в обучении математике

       Метод уравнений и неравенств  является главным средством для овладения учащимися  основами математического моделирования, т.к. :

• в нем наиболее ярко и выпукло отражаются все характерные черты процесса математического моделирования;
• уравнения, неравенства и их конструкции являются моделями  очень многих  явлений.

 
 

Цель изучения метода «уравнений и неравенств»

• формирование у учащихся умений математизации реальных ситуаций;
• установление внутрипредметных и межпредметных связей;
• формирование системности знаний.

 

Суть метода «уравнений и неравенств»

• установление основных связей и зависимостей, характеризующих явление или процесс (т.е. построение словесной модели явления или процесса);
• перевод словесной модели на язык математики, при котором выявленные связи и зависимости записываются в виде уравнений, неравенств или из конструкций (т.е. построение математической модели);
• решение поставленной задачи в рамках математической модели: решение уравнений, неравенств или их конструкций;
• перевод решения на язык, на котором была сформулирована задача (т.е. установления соответствия полученного результата исходному явлению).

 

Две стороны  любого метода

• Объективная – связанная с системой знаний, без которой метода не существует.
• Субъективная – связанная с системой действий, реализация которой ведет к достижению результата, и средствами осуществления этих действий.

Объективная сторона метода «уравнений и неравенств»

• Знания об уравнениях,  неравенствах и их конструкциях, а именно :
• понятия уравнения, неравенства, системы уравнений или неравенств, корня уравнения, решения неравенства, равносильных уравнений или неравенств;
• свойства числовых равенств и неравенств;
• виды уравнений и неравенств и способы их решения. Знание зависимостей между основными величинами, Свойств геометрических фигур и других объектов, изучаемых в школьном курсе математики.
• Умения, связанные с решением уравнений и неравенств, а именно:
• получение уравнений или неравенств, равносильных данному;
• выбор рационального способа решения. Умение составлять уравнения или неравенства в соответствии с свойствами объектов или зависимостями между величинами.
• Умение интерпретировать результаты решения уравнений или неравенств в соответствии с условиями задачи.

 

Субъективная  сторона метода «уравнений и неравенств»

• выбор и обозначение одной или нескольких неизвестных величин;
• выражение через выбранные величины других неизвестных величин с учетом связей и зависимостей, зафиксированных в словесной модели;
• составление решающей модели (уравнения, неравенства или их конструкций);
• решение составленной модели;

исследование  полученного результата.  

Методические  задачи, связанные с овладением учащимися  методом  
«уравнений и неравенств»

• обеспечить понимание учащимися сути метода и овладение ими действиями по применению метода;
• обучить применению метода для решения различных видов задач (сюжетных, геометрических, прикладных).

 

Этапы процесса формирования метода «уравнений и неравенств»

1. Мотивационный этап (принятия учебной задачи).
2. Этап усвоения сути метода.
3. Этап формирования компонентов метода.
4. Этап обучения применению метода к типовым задачам (тип модели определен однозначно).
5. Этап обучения применению метода для решения широкого круга задач (формирование умения рационального выбора вида решающей модели).

 

Типы задач  школьного курса математики, решаемые методом «уравнений и неравенств»

       Формирование умений решать задачи  методом «уравнений и неравенств» осуществляется главным образом при решении сюжетных задач, среди которых по признаку «тип решающей модели» выделяют:

• задачи на составление уравнения;
• задачи на составление неравенств;
• задачи на составление систем уравнений;
• задачи на составление систем неравенств;
• задачи на составление комбинированных систем;
• задачи на оптимизацию.

 

Мировоззренческое значение метода «уравнений и неравенств»

• Возможность установления межпредметных связей

при решении  прикладных физических, экономических  и т.п. задач

(выбор решающей  модели связан с предварительным  установлением и использованием  физических, экономических и т.п.  свойств объектов и явлений;

появляется  возможность показать проникновение  математического знания в другие науки).

• Возможность установления внутрипредметных связей через выделения того общего, что связывает все методы и все составные части математики – алгебру, геометрию, начала математического анализа.

 
 
 
 

§ 2 Логико-дидактический анализ темы «Равносильные уравнения» 

     Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений  /  Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и  др. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2002. 

     §8. Равносильные уравнения и неравенства. 

     Пункт 1 этого параграфа посвящен равносильным уравнениям. Начинается он с задачи.