Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

    Равносильные  уравнения и неравенства 

               Определение 1. Решением (корнем) уравнения с одним неизвестным называется любое число, которое при подстановке вместо неизвестного в уравнение превращает это уравнение в верное числовое равенство.

              Определение 2. Решением неравенства с одним неизвестным называется любое число, которое при подстановке вместо неизвестного в неравенство превращает последнее в верное числовое неравенство.

              Решить уравнение (или неравенство)  — значит найти множество всех  его решений.

              Определение 3. Два уравнения (иди два неравенства) называются равносильными, если множества их решений совпадают.

              Так как процесс решения уравнения  (неравенства) заключается в переходе  к более простым, но равносильным  соотношениям, то нужно знать,  какие действия над уравнениями  (неравенствами) не нарушают их  равносильности.

              На этот счет существуют следующие  теоремы:

              Теорема 1. Если к обеим частям уравнения (или неравенства) прибавить выражение (функцию), имеющую смысл во всей области определении данного уравнения, то получится уравнение равносильное данному

    

              Где  имеет смысл в D.

              Следствие. Любой член уравнения или неравенства можно переносить в любую его часть с противоположным знаком. 

              Теорема 2. От умножения обеих частей уравнения на отличное от нуля число а или на выражение , которое при всех допустимых значениях x имеет смысл и не обращается в нуль в D, образуется уравнение равносильное данному

    

               Если  в D. 

              Теорема 3. Обе части неравенства можно умножить (или разделить) на одно и то же положительное число. Обе части неравенства можно умножить (или разделить) на одно и то же алгебраическое выражение, принимающее только положительные значения на всей области определения неравенства. 

              Теорема 4. Если при любых допустимых значениях неизвестного обе части уравнения имеют один и тот же знак (т.е. обе или обе ), то обе части уравнения можно возвести в степень. 

              Теорема 5. Если при любых допустимых значениях неизвестного обе части неравенства не отрицательны (т.е. ),  то обе части неравенства можно возвести в степень, даже в любую четную. 

              Нужно помнить, что если условия  теоремы 4 не выполнены (т.е.  обе части уравнения могут  иметь противоположные знаки), то  при возведении в квадрат могут  появиться посторонние корни.  Поэтому, если такое действие  совершено, то все найденные  корни подлежат обязательной  проверке подстановкой в заданное  уравнение.

              Если возвести в квадрат неравенство,  для которого условия теоремы  5 не выполнены, то может произойти  не только приобретение корней, но и потеря решений.

              Уравнение принято называть распадающимся,  если оно равносильно совокупности  двух или нескольких более  простых соотношений.

              Типов распадающихся уравнений  — множество. Рассмотрим наиболее  употребительные из них. При  этом будем предполагать, что  функции f(x) и g(x) имеют общую область определения. 

             

              а) Линейное уравнение.

              Уравнение вила ах + b = 0, где а и b некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

              Решение

      

              б) Квадратное уравнение.

              Уравнение вида ах² + bх + с = 0,  гдеa, b, c— некоторые числа, причем , называется квадратным.

              Решение квадратного уравнения. 

    ах² + bх + с = 0,   

    

              Частные случаи:

      
 
 

 

     Выводы  по I главе 

     Были  рассмотрены общие цели и методы обучения математике и теперь можно сделать вывод о том, что методы обучения – упорядоченные способы взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленные на достижение целей обучения как средства образования и воспитания.

     Система методов обучения математике состоит  из:

     а) общих методов обучения, разработанных  дидактикой и адаптированных к обучению математике;

     б) частных (специальных) методов обучения математике, опережающих основные методы познания, используемые в математике.

     Это обусловлено тем, что:

     цели  обучения включают усвоение не только определенной совокупности научных  фактов, но и методов добывания  этих фактов, используемых в самой  науке;

     методы  научных исследований – методы приобретения новых знаний в науке, методы обучения – методы приобретения новых знаний в познавательной деятельности;

     специальные методы обучения, отражающие методы самой  математики, способствуют формированию и развитию математического мышления учащихся.

       Так же выделен словесный метод  обучения, как наиболее подходящий  для изложения материала по  теме «Равносильность уравнений  и уравнение-следствие» в виде  урока-лекции. Ведь в ходе лекции педагог не только передает новую научную информацию в систематическом целостном виде, но и может вскрыть многие связи - с другими предметами, проблемами и практикой. Он учит мыслить, анализировать, доказывать, делать обобщения и выводы; в этом смысле лекция для учащихся - образец рассказа. Монологическое изложение позволяет учителю развивать внимание школьников, умение выделять главное, а эти качества важны и для последующего самообразования, и для любой профессии.  

 

     

     Глава II Методика изучения темы «Равносильные  уравнения и неравенства» 

     § 1 Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики 

     Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения и неравенства, их изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.

     Выделенным  областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре  соответствуют три основных направления  развертывания линии уравнений  и неравенств в школьном курсе  математики.

     а) Прикладная направленность линии уравнений  и неравенств раскрывается главным  образом при изучении алгебраического  метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в  школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

     В настоящее время ведущее положение  в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя  это понятие, можно сказать, что  прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что  они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

     б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов  уравнений, неравенств и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий  и методов, относящихся к линии  в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений и неравенств связаны  с простейшими и одновременно наиболее важными математическими  моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет  логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они  описывают то общее, что имеется  в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам  уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и  методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также  должны быть раскрыты в линии уравнений  и неравенств.

     в) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием  курса математики. Эта линия тесно  связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, - это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые  в школьной алгебре и началах  анализа, за исключением области  всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Например, числовые промежутки выделяются неравенствами или системами неравенств. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями   (k-натуральное число, большее 1) и связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Приведенные примеры показывают влияние уравнений и неравенств на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств.

     Линия уравнений и неравенств тесно  связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких  связей приложения методов, разрабатываемых  в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции (например, к  заданиям на нахождение области определения  некоторых функций, их корней, промежутков  знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает  существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В  частности, функциональные представления  служат основой привлечения графической  наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем. 

     Подходы к определению понятия уравнения 

     Функциональный  подход

• Уравнением с одним неизвестным называется равенство вида   f(x) = g(x).
• Число x₀  называется корнем уравнения, если это число принадлежит области допустимых значений неизвестного и справедливо числовое равенство f(x₀) = g(x₀).

     Предикатный подход (через высказывательную форму)

• Равенство, содержащее неизвестное число, называется уравнением.
• Значение неизвестного числа, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

     При любом из подходов к определению  понятия уравнения суть действия решения уравнения трактуется одинаково:

 решить уравнение  – значит найти все его корни  или доказать, что их нет. 

Связь понятия  «уравнение» с понятием «тождество»

• Уравнение называется тождеством, если любое число является его решением (отражен первый подход к определению тождества).
• Уравнение вида f(x) = g(x)  называется тождеством, если множество решений этого уравнения совпадает с областью определения данного уравнения (отражен второй подход к определению тождества).

 

Основные тенденции  в изучении уравнений

•    более раннее систематическое изучение уравнений (начиная с начальной    школы);
•    расширение объема и сложности решаемых уравнений младшими школьниками;
• вариативность последовательности изучения отдельных вопросов линии.

 

Два основных процесса, сопровождающих обучение

1. Постепенное возрастание классов уравнений и неравенств, приемов их решения, преобразований, применяемых при решении.
2. Установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более общих приемов преобразований, упрощение описания и обоснования решения.

 

Значение выделения  основных классов уравнений и  неравенств

• за счет стандартизации формы задания «общего вида» уравнения  можно записывать ответы формулой или привести простое описание действий, приводящих к решению;