Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

1. имеет смысл всюду в области определения (в ОДЗ) уравнения ;
2. нигде в этой области не обращается в нуль, - то получится уравнение , равносильное данному.

     Следствие. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

     Теорема 5. Если обе части уравнения неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же степень n получится уравнение, равносильное данному: .

     Теорема 6. Если , то логарифмическое уравнение , равносильно уравнению .

     Теоремы сформулированы как в условной, так  и в категоричной форме. Доказательств  не приведено. Эти теоремы показывают учащимся способы перехода к равносильным уравнениям.

     Далее автор обращает внимание учащихся на то, что если в процессе решения  уравнения применить заключение одной из теорем 4, 5, 6, не проверив выполнения ограничительных условий, заложенных в формулировках теорем, то получится  уравнение-следствие.

     В учебнике авторов С.М. Никольский и  др. выделяется отдельный параграф «Равносильность уравнений системам». В данном параграфе формулируется  определение уравнения, равносильного  системе: уравнение равносильно системе, если каждое решение уравнения является решением системы, а каждое решение системы является решением уравнения. Вообще говоря, это определение не является принципиально новым для учащихся. Его формулировка аналогична определению равносильных уравнений. Поэтому учитель может попросить учащихся самостоятельно его сформулировать. Для большего осознания можно привести пример. Аналогично формулируется определение равносильности уравнения совокупности систем.

     Далее следует пункт о решении уравнений  с помощью систем. Здесь отметим  только тот материал, который касается темы диссертации.

• Уравнение равносильно системе где - область существования функции .

     Доказательство  этого утверждения предоставлено  учащимся на самостоятельную работу (только для профильных классов, в  общеобразовательных классах это  утверждение принимается без  доказательства).

• Множество решений уравнения есть объединение множеств решений двух систем где - область существования функции , - область существования функции (или исходное уравнение равносильно совокупности систем).

     Утверждение доказано в тексте параграфа. Доказательство основано на определении решения  уравнения и определении уравнения, равносильного совокупности систем (сначала показывается, что любое  решение уравнения есть решение  хотя бы одной из систем, затем –  обратно, что любое решение совокупности систем является решением исходного  уравнения). Оно реализовано с  помощью рассмотрения всех возможных  случаев: уравнение имеет решение, и уравнение не имеет решений. В последнем случае используется метод от противного.

• Уравнение равносильно системе

     Вообще  говоря, учащиеся знакомы с этим утверждением в следующей формулировке: дробь тогда равна нулю, когда  числитель равен нулю, а знаменатель  отличен от нуля. Здесь этот способ представлен в символьной форме.

     Здесь учащимся вводится знак, обозначающий равносильность ( ), что несколько упрощает запись и указывает на осуществление равносильного перехода.

     Ниже  следует параграф «Равносильность  уравнений на множествах». Здесь  формулируются определения равносильных уравнений на некотором множестве  M и равносильного перехода на множестве M от одного уравнения к другому (равносильного на множестве M преобразования уравнения). Определения строгие, формально-логические, аналогичны соответствующим определениям равносильных уравнений и равносильных преобразований, данным ранее.

     Как и ранее в общем случае здесь  выделяются основные преобразования уравнений, приводящие исходное уравнение к  уравнению, равносильному ему на некотором множестве чисел:

• возведение уравнения f(x)=g(x) в четную степень 2m ( ) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве M, на котором обе функции f и g неотрицательны.

     Пусть 2m – натуральное четное число ( ) и пусть в каждой точке множества M обе функции f(x) и g(x) неотрицательны, тогда на этом множестве равносильны уравнения f(x)=g(x) и .

     Это утверждение ничем не обосновано.

     Остальные преобразования предназначены только для профильных классов. Ниже просто перечислим их.

• умножение (или деление) обеих частей уравнения на функцию приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве M, на котором функция определена и отлична от нуля.
• Потенцирование и логарифмирование уравнения

       

     приводит  к уравнению f(x)=g(x), равносильному исходному на том множестве M, на котором обе функции f и g положительны.

• Приведение подобных членов приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве , на котором определена функция , т.е. на области существования функции .
• Применение некоторых формул приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве M, на котором определены обе части применяемой формулы.

     В учебнике А.Г. Мордковича также оговаривается  возможность расширения области  определения уравнения в следующих  случаях:

1. Освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей, содержащих переменную величину.
2. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени.
3. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков логарифмов.

     Ниже  делается вывод: обязательна проверка всех найденных корней, если:

1. произошло расширение области определения уравнения;
2. осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
3. выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной, имеющей смысл во всей области определения уравнения.

     Здесь опять внимание учеников акцентируется  на необходимости выполнения проверки, особенно в выделенных случаях. Проверку корней можно провести двумя способами – использовать ОДЗ уравнения или просто подставить найденные значения в исходное уравнение. Последний способ наиболее универсален.

     После всей представленной теории по теме «Уравнения»  А.Г. Мордкович перечисляет общие  методы решения уравнений. Вообще, в  учебниках других авторов таких методов как таковых не выделяется. Ниже перечислим эти методы. 

     Алгебра и начала математического анализ: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов и др.] – 7-е изд., доп. – М.: Просвещение, 2008. 

     Глава II. Уравнения. Неравенства. Системы.

     В начале главы авторы учебника кратко описывают предстоящую деятельность. Делается акцент на тот факт, что  ученики ранее рассматривали  ряд уравнений (рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические), а также систем уравнений. В этой же главе формулируются утверждения, с помощью которых решают более  сложные уравнения и системы  уравнений. Доказательства многих из них  аналогичны, поэтому доказательства приводятся не для всех утверждений. 

     § 7. Равносильность уравнений и неравенств.

     7.1 Равносильные преобразования уравнений. 

     Определение 1. Пусть даны два уравнения и . Если любой корень первого уравнения является корнем второго, а любой корень второго уравнения является корнем первого, то такие два уравнения называются равносильными.

     Другими словами, два уравнения равносильны, если совпадают множества всех корней этих уравнений.

     Например, уравнения  равносильны, т.к. каждое из них имеет единственный корень 1. Уравнения также равносильны, т.к. каждое из них не имеет корней.

     Определение 2. Замену одного уравнения другим равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием уравнения.

     Если  при решении уравнения совершено  равносильное преобразование уравнения, то множество корней преобразованного уравнения совпадает с множеством корней исходного уравнения.

     Основные  равносильные преобразования:

1. Перенос члена уравнения (с противоположным знаком) из одной части уравнения в другую.
2. Умножение (деление) обеих частей уравнения на отличное от нуля число.
3. Применение тождеств, т.е. равенств, справедливых для каждого .

     При применении преобразований 1) – 3) часто  не пишут, что получилось уравнение, равносильное данному, а пишут: «перепишем исходное уравнение в виде…».

     Определение 3. Замену уравнения уравнением , где , называют возведением уравнения в степень.

     Определение 4. Замену уравнения уравнением , где , называют извлечением корня степени n из обеих частей уравнения.

     Определение 5. Замену уравнения , уравнением называют логарифмированием показательного уравнения.

     Далее список равносильных преобразований продолжается:

4. Возведение уравнения в нечетную степень.
5. Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
6. Логарифмирование показательного уравнения.

     Равносильность  преобразований 1) – 6) следует из утверждений:

1. Пусть 2m+1 ( ) – фиксированное нечетное число, тогда равносильны уравнения

           (1)

     и

      .     (2)

2. Пусть 2m+1 ( ) – фиксированное нечетное число, тогда равносильны уравнения и .
3. Пусть фиксированное число a таково, что , тогда равносильны уравнения и .

     Доказательство: Пусть число x₀ – любой корень уравнения (1), т.е. пусть существуют числа f(x₀) и g(x₀), для которых справедливо числовое равенство f(x₀) = g(x₀). Но если равны числа, то равны и их любые нечетные натуральные степени, т.е. справедливо равенство:

      .

     Полученное  равенство означает, что любой  корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

     Докажем обратное.

     Пусть число x₁ – любой корень уравнения (2), т.е. пусть существуют числа f(x₁) и g(x₁), для которых справедливо числовое равенство:

      .

     Из  равенства чисел следует равенство  корней любой нечетной натуральной  степени, т.е. справедливость числового  равенства f(x₁) = g(x₁). Полученное равенство означает, что любой корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).

     Таким образом, если хотя бы одно из уравнений (1) и (2) имеет корень, то эти уравнения  равносильны.

     Покажем, что если уравнение (1) не имеет корней, то и уравнение (2) не имеет корней.

     Предположим противное, т.е. предположим, что уравнение (2) имеет хотя бы один корень x₂. Тогда по доказанному выше число x₂ является корнем уравнения (1), что противоречит условию: уравнение (1) не имеет корней. Следовательно, наше предположение неверно, т.е. уравнение (2) не имеет корней.

     Следовательно, если хотя бы одно из уравнений (1) и (2) не имеет корней, то эти уравнения  равносильны.

     Пример. Решить уравнение

      .

     Извлекая  корень 11-й степени из обеих частей уравнения, получим уравнение

      ,