Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

• возведение уравнения f(x)=g(x) в четную степень 2m ( ) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве M, на котором обе функции f и g неотрицательны.

     Пусть 2m – натуральное четное число ( ) и пусть в каждой точке множества M обе функции f(x) и g(x) неотрицательны, тогда на этом множестве равносильны уравнения f(x)=g(x) и .

     Это утверждение ничем не обосновано.

     Остальные преобразования предназначены только для профильных классов. Ниже просто перечислим их.

• Умножение (или деление) обеих частей уравнения на функцию приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве M, на котором функция определена и отлична от нуля.
• Потенцирование и логарифмирование уравнения

       

     приводит  к уравнению f(x)=g(x), равносильному исходному на том множестве M, на котором обе функции f и g положительны.

• Приведение подобных членов приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве , на котором определена функция , т.е. на области существования функции .
• Применение некоторых формул приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве M, на котором определены обе части применяемой формулы.

     В учебнике А.Г. Мордковича также оговаривается  возможность расширения области  определения уравнения в следующих  случаях:

4. Освобождение в процессе решения уравнения от знаменателей, содержащих переменную величину.
5. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени.
6. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков логарифмов.

     Ниже  делается вывод: обязательна проверка всех найденных корней, если:

1. произошло расширение области определения уравнения;
2. осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;
3. выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной, имеющей смысл во всей области определения уравнения.

     Здесь опять внимание учеников акцентируется  на необходимости выполнения проверки, особенно в выделенных случаях. Проверку корней можно провести двумя способами – использовать ОДЗ уравнения или просто подставить найденные значения в исходное уравнение. Последний способ наиболее универсален.

     После всей представленной теории по теме «Уравнения»  А.Г. Мордкович перечисляет общие  методы решения уравнений. Вообще, в  учебниках других авторов таких методов как таковых не выделяется. Ниже перечислим эти методы.

     Общие методы решения уравнений.

1. Замена уравнения уравнением .

     Автор говорит о том, что этот метод  не является новым. С ним встречались  ранее (например, при решении показательных  уравнений).

     Этот  метод можно применять в том  случае, когда  - монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу.

     Если  же - немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, т.к. возможна потеря корней.

2. Метод разложения на множители.

     Суть  метода заключается в следующем: уравнение  можно заменить совокупностью уравнений .

     Решив уравнения этой совокупности, нужно  взять те их корни, которые принадлежат  области определения исходного  уравнения, а остальные отбросить  как посторонние.

3. Метод введения новой переменной.

     Этим  методом учащиеся тоже пользовались при решении уравнений. Опишем его  суть: если уравнение  удалось преобразовать к виду , то нужно ввести новую переменную , решить уравнение , а затем решить совокупность уравнений

      ,

     где – корни уравнения .

     А. Г. Мордкович утверждает, что умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом. Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, а иногда «проявляется лишь в процессе преобразований». Совет автора учащимся – не торопиться начинать преобразования, а сначала подумать, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую  переменную. Если новую переменную ввели, то следует решить полученное уравнение относительно новой переменной до конца, вплоть до проверки корней, и  только потом возвращаться к исходной переменной.

     Далее следуют примеры уравнений, иллюстрирующие использование этого метода: иррациональное, показательное, тригонометрическое и  логарифмическое. Что показывает универсальность  этого метода для любого типа уравнения.

4. Функционально-графический метод.

     Идея  графического метода решения уравнения  : нужно построить графики функций , и найти точки их пересечения. Корни уравнения – абсциссы этих точек пересечения. Этот метод также известен учащимся. Он позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближенные, а иногда и точные значения корней.

     В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить ссылкой  на какие-либо свойства функций (поэтому  метод носит название функционально-графический). Например, если одна функция убывает, а другая возрастает, то уравнение, либо не имеет корней, либо имеет один корень. Этим приемом ученики уже пользовались.

     Выделим еще одну разновидность этого метода: если на промежутке X наибольшее значение одной из функций , равно A и наименьшее значение другой функции тоже равно A, то уравнение равносильно на промежутке X системе уравнений

       

     Таким образом, можно сделать вывод, что  в каждом учебнике в отдельности  информация по теме «Уравнения» неполная, но если рассматривать материал в  совокупности, то становится видно, что  теории по дано теме вполне достаточно, особенно для общеобразовательных  классов. Можно выделить теоретический  базис темы. Главными определениями  являются определения многочлена, алгебраического  и рационального уравнений, равносильных уравнений, уравнений-следствий, корня  уравнения, решения уравнения, что  значит решить уравнение; уравнений, равносильных на множестве; уравнений, равносильных системе. Определения формально-логические, строгие, большинство сформулировано во всех учебниках. Кроме определений  в теме (в учебнике А.Г. Мордковича) выделены теоремы о равносильности уравнений, которые объясняют учащимся, в каких случаях получаются уравнения, равносильные данному. Утверждения  приведены без доказательства (вообще многие теоремы не подкреплены доказательствами). Также в учебнике авторов С.М. Никольский и др. выделены преобразования, приводящие к уравнению-следствию, и преобразования, приводящие к равносильному  уравнению. Так ученики будут  знать, какие преобразования лучше  выполнить, чтобы не произошла потеря корней. Посторонние корни можно  выявить с помощью проверки. Во всех учебниках обращается внимание учащихся на тот факт, что необходимо проводить проверку сразу после  решения уравнения для установления появления или отсутствия посторонних  корней. В случае появления посторонних  корней их в ответ не включают. Кроме  того, в учебнике А.Г. Мордковича выделены схема решения уравнений и  этапы их решения. Важной информацией  является выделение общих методов  решения уравнений в учебнике А.Г. Мордковича: замена уравнения  уравнением , метод разложения на множители, метод введения новой переменной, функционально-графический метод. В учебнике С.М. Никольского и др. выделены способы с использованием свойств функций. Каждый способ имеет описание в тексте параграфа. Для более детального изучения темы «Уравнения» возможно использование дополнительной литературы. 
 
 

     

2. Анализ  задачного материала.

     Здесь рассмотрим учебники всех выше перечисленных  авторов.

     В учебниках авторов Ш.А. Алимов и  др. как для 9, так и для 10-11 классов, представлены задачи трех типов:

• обязательные;
• дополнительные (более трудные);
• трудные.

     В учебнике для 9 класса много упражнений, связанных с делением многочленов (нацело и с остатком) следующих  формулировок:

• найти частное;
• выполнить деление;
• написать формулу деления многочленов и др.

     Относительно  решения уравнений последовательность заданий та же: от легких к трудным. Задания типа:

     1) на вычисление:

• решить уравнение;
• найти действительные корни уравнения;
• решить возвратное (рациональное) уравнение;

     2) на доказательство (в числе трудных):

• доказать теорему Виета для кубического уравнения (№ 16);
• доказать свойство корней уравнения (№17);
• доказать, что уравнение заменой сводится к уравнению (ниже дано задание на применение этого утверждения, №21).

     Задачи  на доказательство ключевые, т.к. они  являются задачами-теоремами, которые  можно использовать в решении  уравнений. Также их использование, несомненно, упрощает решение.

     Представим  решение этих ключевых задач.

     № 21. Решение. .

     Это возвратное уравнение. Поделим обе части уравнения на x². Получим:

     

     Группируем  слагаемые следующим образом  и выносим общий множитель:

     

     Теперь  выполним замену . Имеем: . Тогда уравнение сведется к уравнению вида

     

     Таким образом, доказали требуемое.

     № 16. Доказать теорему Виета для кубического уравнения: если – корни уравнения , то

     

     Доказательство. Так как по условию задачи – корни данного приведенного уравнения, то имеет место следующая запись:

      .

     Раскроем  скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие соответственно, получим:

      .

     Пользуясь методом неопределенных коэффициентов (два многочлена равны тогда и  только тогда, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях x), имеем, что

     

     Таким образом, данная теорема доказана.

     Вообще  говоря, этой теоремой необходимо воспользоваться  при решении следующего задания  – № 17 (здесь представлено неполное приведенное квадратное уравнение). Но все же, № 17 причислим к ключевым задачам, так как это утверждение  может быть применено при решении  других заданий, связанных с уравнениями. Задание № 15 направлено на прямое применение теоремы из № 16.

     № 17. Доказать, что если – корни уравнения , то

      .

     Доказательство. Так как – корни исходного уравнения, то они удовлетворяют ему, т.е. при подстановке обращают его в верное числовое равенство:

       

     Складывая эти равенства, получим следующее:

     

     Воспользуемся предыдущей задачей:

     

     так как коэффициент при  в данном примере равен нулю, а свободный член равен b. Тогда в итоге получим:

      .

     Что и требовалось доказать.

     Другие  ключевые задачи находятся в тексте учебника. Это задачи 3,4 (в 4 примере  требуется разложить многочлен  на множители, что немаловажно в  решении уравнений) из §2, задачи 1-3 из §3. Они являются ключевыми, так как  иллюстрируют способы решения подобных уравнений (умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель (в случае рационального уравнения), разложение на множители, деление обеих  частей уравнения на неизвестное (в  случае возвратных уравнений), применение теоремы Безу). Эти задачи приведены  с решением. Ниже представим некоторые  из них.

1. Решить уравнение .