Автор: Пользователь скрыл имя, 30 Октября 2011 в 14:42, курсовая работа
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Введение 3
Глава I. Аналогия как метод научного познания 6
§1.1 Методы научного познания как компоненты гуманитарно ориентированного содержания математического образования 6
§1.2 Познавательные процессы и умственные способности юношеского возраста 12
§1.3 Сущность метода аналогии. Роль аналогии в обучении математике 14
Выводы по Главе I………………………………………………………….…..22
Глава II. Методические рекомендации к обучению школьников методу аналогии при изучении темы «Сфера» 24
§2.1 Основные положения методики обучения школьников методу аналогии 24
§2.2 Выводы из логико – дидактического анализа темы «Сфера» 38
§2.3 Конспекты уроков 43
Урок по теме «Сфера и шар. Уравнение сферы» 43
Урок по теме: «Взаимное расположение сферы и плоскости» 51
Урок по теме: «Касательная плоскость к сфере» 56
Заключение 63
Список использованной литературы 64
Решение. Обозначим – многочлен, стоящий в левой части исходного уравнения. Найдем все целые корни уравнения. Делителями числа 2 являются числа 1, -1, 2, -2. Подставим в уравнение, имеем:
.
Следовательно, .
Делением многочлена на многочлен находим .
Корни этого многочлена – числа .
Ответ: .
.
Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим:
.
Разложим
левую часть полученного
.
Таким образом, рассмотрим уравнение, равносильное данному:
.
Теперь найдем корни этого уравнения: а уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: .
Решение. Данное уравнение является алгебраическим, но не имеет целых корней, так как делители свободного члена не являются корнями уравнения. Здесь представлено возвратное уравнение.
не является корнем уравнения,
Сделаем замену неизвестного, обозначив . Тогда имеем:
Исходное уравнение примет вид
Вернемся к введенным обозначениям:
Ответ: , .
Решение. Предположим, что x – корень уравнения, т.е. x – число, обращающее исходное уравнение в верное числовое равенство. Следовательно, знаменатели дробей не равны нулю. Умножая обе части данного равенства на общий знаменатель дробей, т.е. на , получим
.
Решим это уравнение. Преобразуем его следующим образом:
Среди делителей свободного члена находим целый корень полученного уравнения. Разделив левую часть этого уравнения на , запишем его следующим образом:
.
Решая уравнение , находим его корни .
Замечаем, что при найденных значениях x знаменатели дробей в исходном уравнении не обращаются в ноль.
Ответ: , .
В представленных задачах 4 и 5 применяется именно этот способ решения рациональных уравнений ( это задания на прямое применение задачи 3).
В
учебнике этих же авторов для 10-11 классов
рассматриваются только равносильные
уравнения и уравнения-
Здесь принцип от простого к сложному сохраняется. Ниже выпишем и рассмотрим решения ключевых задач.
Решение. Умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех трех дробей, т.е. на , получаем:
.
Откуда имеем
Проверка.
Значит, – корень уравнения.
Ответ: .
Решение. Преобразуем выражение так:
.
Откуда
Ответ:
Во втором примере авторы предостерегают учащихся от «напрашивающегося» деления обеих частей уравнения на множитель во избежание потери корня.
Перейдем к учебнику А.Г. Мордковича. Здесь, как и в учебнике Ш.А. Алимова, ключевыми являются задачи из текста параграфов. Приведем их ниже с решением.
Решение. Представив слагаемое 7x в виде x+6x, получим
Задача свелась к решению совокупности уравнений
Из первого уравнения находим: . Из второго уравнения – . Так как все преобразования равносильны, то найденные три значения являются корнями исходного уравнения.
Ответ: , .
Этот пример направлен на применение метода разложения на множители.
Решение. Заметив, что левая часть уравнения имеет структуру , где , выделим в левой части полный квадрат, прибавив и отняв 2AB, т.е. . Получим
«Проявилась» новая переменная: . Относительно нее получим квадратное уравнение . Находим его корни: . Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность уравнений:
Из первого уравнения находим , второе уравнение не имеет корней.
Ответ: .
Данная задача иллюстрирует применение метода введения новой переменной.
Решение. Очевидно, что – корень уравнения. Докажем, что это единственный корень.
Преобразуем уравнение к виду . Замечаем, что функция возрастает, а функция убывает. Значит, уравнение имеет только один корень.
Ответ: .
Здесь
представлен функционально-
Таким образом, в данном учебнике рассмотрены задачи на каждый из методов, выделенных автором.
Рассмотрим теперь учебники авторов С.М. Никольский и др. для 10 и 11 классов.
В учебнике для 11 класса, как в учебнике Ш.А. Алимова, представлены задачи на установление равносильности уравнений (используя утверждения о равносильных преобразованиях), также задачи на установление равносильности уравнений на множестве (определение множества, на котором уравнения равносильны). В этом учебнике авторы представили в основном уравнения тригонометрические, логарифмические, иррациональные, уравнения с модулем, смешанные уравнения. Уравнений высших степеней очень мало. Поэтому ключевые задачи почти отсутствуют. К ним можно отнести следующие: №№ 8.21, 9.8, 9.15, 10.23 (на доказательство утверждений из текста учебника).
Изучая учебник этих авторов для 10 класса, можно выделить такие типы упражнений:
В учебнике присутствуют задачи следующих уровней:
Задачи
для устной работы представляют собой
вопросы, на которые требуется ответ
учащихся (формулировки теорем, определений).
Они сразу следуют после
Список упражнений соответствует принципу от простого к сложному.
Ключевые задачи также представлены в тексте учебника.
Решение. Уравнение распадается на два уравнения:
Первое уравнение имеет корни , второе уравнение – . Значит, исходное уравнение тоже имеет четыре корня и других корней не имеет.
Ответ: , .
Решение. Сначала решим уравнение . Оно имеет два корня . Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим
Это показывает, что число не является корнем исходного уравнения, а число – корень этого уравнения.
Ответ: .
Решение. Перенеся все члены уравнения в левую часть, получим уравнение
.
Применяя
правило вычитания
.
Решим уравнение . Перепишем его в виде
Число -5 не обращает в нуль знаменатель, а число 3 обращает. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень x=-5.
Ответ: x=-5.
Решение. Число 0 не является корнем уравнения, поэтому оно равносильно уравнению
.
Обозначим , тогда . Полученное уравнение перепишем в виде
.
Это уравнение имеет два корня . Следовательно, все корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений
.
Первое уравнение имеет два корня , а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому исходное уравнение имеет только два корня.
Ответ: .
Здесь иллюстрируется применение алгоритмов решения выделенных типов уравнений: распадающееся, уравнение вида , уравнение вида . На применение каждого из этих алгоритмов в списке упражнений присутствуют задания. Также представлены задачи из сборника П.А. Ларичева.
Таким образом, тема снабжена ключевыми задачами. Эти задачи зачастую представлены в тексте учебников и представляют собой демонстрацию решения уравнений тем или иным способом, реализацию алгоритмов решения. Кроме таких заданий, важными являются и задачи, например, из учебника Ш.А. Алимова и др. (на доказательство утверждений, касающихся кубических уравнений), так как это невыделенные теоремы, которыми можно (и нужно) пользоваться в решении уравнений.
Что
касается структуры упражнений, то
здесь выполнены принципы вариативности
и от простого к сложному. Кроме
того, представлены задания и для
устной (в учебнике С.М. Никольского
и др.), и для письменной работы.
Можно сделать вывод, что упражнений
достаточно (в совокупности).
§
3 Тематическое планирование
Тематическое планирование курса алгебры для 11 класса (базовый уровень)
Календарно-тематический план ориентирован на использование учебников А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник и А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Задачник