Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

     Одними  из основополагающих понятий являются понятия равносильных уравнений, уравнений-следствий. Определения этим понятиям даются во всех учебниках. В учебнике Ш.А. Алимова  введение определения равносильных уравнений сопровождается приведением  примера (пример приводится непосредственно перед формулировкой определения). Определение следующее: уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Определение строгое, понятное. В учебниках авторов Алимов и др. и Никольский и др. приводятся примеры равносильных и неравносильных уравнений, что способствует лучшему осознанию этого определения учениками, затем делается важное замечание, что уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными (это замечание имеет место во всех рассматриваемых учебниках).

     В учебнике С.М. Никольского и др. формулируется  определение равносильного преобразования: замену одного уравнения другим равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием уравнения. Такое определение не вводится ни в каком другом учебнике.

     В учебнике Ш.А. Алимова и др. выделяются преобразования уравнений, приводящих к равносильным уравнениям:

• любой член уравнения можно переносить из одно части в другую, изменив его знак на противоположный;
• обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю;

     Акцент  делается на том, что только при этих преобразованиях уравнение заменяется равносильным. Также формулируется  утверждение: если некоторое выражение  в левой или правой части уравнения  заменить тождественно равным ему выражением, то получиться уравнение, равносильное исходному. Но не при любом преобразовании уравнение заменяется равносильным. Здесь ученикам нужно быть внимательнее.

     Данный  список равносильных преобразований пополняется  в учебнике Никольского и др. (после  введения соответствующих определений  – возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование) следующими преобразованиями:

• применение тождеств, т.е. равенств, справедливых для каждого ;
• возведение уравнения в нечетную степень;
• извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения;
• логарифмирование показательного уравнения.

     Кроме перечисления этих преобразований, в  учебнике С.М. Никольского и др. представлены утверждения, из которых они следуют, и их доказательства. Утверждения  выделены в тексте параграфа. Доказательства их аналогичны, поэтому авторы учебника представили только одно доказательство, в остальных случаях ученики  выполняют его самостоятельно. Доказательство строгое, несложное, основано на определении  корня уравнения и на действиях  с числами. Оно осложняется тем, что проводится в обе стороны  и рассматривается случай, когда  уравнение не имеет корней. Таким  образом, учеников следует лишь натолкнуть на рассмотрение этих случаев, доказательство для каждого случая учитель может  вести фронтально с «подсказками»  учащихся.

     Далее формулируется определение уравнения-следствия: если при переходе от одного уравнения  к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения (или если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения). Основываясь на этом определении, формулируется следствие – второе определение равносильных уравнений: если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны. В учебнике Ш.А. Алимова и др. к этому следствию добавляется еще одно: если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого. Эти очень важные утверждения применяются при решении уравнений, т.к. только при равносильных преобразованиях не происходит потеря корней, а появление посторонних корней можно легко установить проверкой.

     Как и в случае равносильных уравнений, в учебнике авторов С.М. Никольский и др. формулируется определение  перехода к уравнению-следствию: замену уравнения другим уравнением, которое  является его следствием, называют переходом к уравнению-следствию. Здесь внимание заостряется на том, что при переходе к уравнению-следствию невозможно потерять корни исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней.

     Ниже  перечисляются преобразования, приводящие к уравнению-следствию:

• возведение уравнения в четную степень: пусть 2m – фиксированное четное натуральное число. Тогда следствием уравнения является уравнение ;
• потенцирование логарифмического уравнения;
• освобождение уравнения от знаменателя: следствием уравнения является уравнение f(x)=0;
• приведение подобных членов: следствием уравнения является уравнение f(x)=0;
• применение формул: пусть дана некоторая формула, у которой левая часть определена в каждой точке множества M₁, а правая часть – в каждой точке множества M₂, причем, . Тогда если при решении уравнения применить эту формулу так, что ее левую часть заменить правой, то получится уравнение-следствие исходного.

     В случае потенцирования проводится доказательство.

     В учебнике А.Г. Мордковича также выделяется общая схема решения уравнений:

4. заданное уравнение (1) преобразуют в уравнение (2), более простое, чем уравнение (1);
5. уравнение (2) преобразуют в уравнение (3), более простое, чем уравнении(2), и т.д.:

     

6. в конце  получают достаточно простое уравнение  и находят его корни.

     В этом случае опять акцентируется  внимание на том, что если преобразования были равносильными, то множество найденных  корней последнего уравнения совпадает  с множеством корней исходного уравнения, т.е. потеря корней не происходит. В  связи с этим А.Г. Мордкович выделяет следующие этапы решения уравнений:

4. технический этап – здесь осуществляется преобразования по схеме и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
5. анализ решения – представляет собой анализ проведенных преобразований с помощью ответов на вопрос, все ли они были равносильными.
6. проверка – если проведенный анализ показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

     Эти этапы при непосредственном решении  уравнений указывать не нужно, но следует проводить все необходимые  рассуждения.

     Таким образом, во всех учебниках выделяется обязательный этап решения уравнений  – проверка, которая показывает, привело ли решение уравнения  к появлению постороннего корня. Если да, то такие корни в ответ  не включают.

     В учебнике Ш.А. Алимова формулируются  утверждения о появлении посторонних  корней и потере корней.

     Утверждение. Посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

     Утверждение. Потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

     Таким образом, эти утверждения предостерегают учащихся от неверных шагов при решении  уравнений.

     Что касается потери корней, то в учебнике А.Г. Мордковича выделяются следующие  причины этого:

3. деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(x) (кроме случаев, когда точно известно, что всюду в области определения );
4. сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

     После чего автор дает некий совет ученикам: применяя при решении уравнения  какую-либо формулу, следите за тем, чтобы ОДЗ переменной для правой и левой частей формулы были одинаковыми. Так, выделенные причины играют важную роль в теме, т.к., зная их, ученики  могут избежать потери корней при  решении уравнений.

     Кроме того, в учебнике А.Г. Мордковича сформулированы теоремы о равносильности уравнений.

     Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

     Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

     Теорема 3. Показательное уравнение равносильно уравнению .

     Эти теоремы, как говорит А. Г. Мордкович, «спокойные», т.е. гарантируют равносильность преобразований. Следующие три теоремы  – «беспокойные», т.к. работают лишь при определенных условиях.

     Теорема 4. Если обе части уравнения умножить на одно и то же выражение h(x), которое:

3. имеет смысл всюду в области определения (в ОДЗ) уравнения ;
4. нигде в этой области не обращается в нуль, - то получится уравнение , равносильное данному.

     Следствие. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

     Теорема 5. Если обе части уравнения неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же степень n получится уравнение, равносильное данному: .

     Теорема 6. Если , то логарифмическое уравнение , равносильно уравнению .

     Теоремы сформулированы как в условной, так  и в категоричной форме. Доказательств  не приведено. Эти теоремы показывают учащимся способы перехода к равносильным уравнениям.

     Далее автор обращает внимание учащихся на то, что если в процессе решения  уравнения применить заключение одной из теорем 4, 5, 6, не проверив выполнения ограничительных условий, заложенных в формулировках теорем, то получится  уравнение-следствие.

     В учебнике авторов С.М. Никольский и  др. выделяется отдельный параграф «Равносильность уравнений системам». В данном параграфе формулируется  определение уравнения, равносильного  системе: уравнение равносильно системе, если каждое решение уравнения является решением системы, а каждое решение системы является решением уравнения. Вообще говоря, это определение не является принципиально новым для учащихся. Его формулировка аналогична определению равносильных уравнений. Поэтому учитель может попросить учащихся самостоятельно его сформулировать. Для большего осознания можно привести пример. Аналогично формулируется определение равносильности уравнения совокупности систем.

     Далее следует пункт о решении уравнений  с помощью систем. Здесь отметим  только тот материал, который касается темы диссертации.

• Уравнение равносильно системе где - область существования функции .

     Доказательство  этого утверждения предоставлено  учащимся на самостоятельную работу (только для профильных классов, в  общеобразовательных классах это  утверждение принимается без  доказательства).

• Множество решений уравнения есть объединение множеств решений двух систем где - область существования функции , - область существования функции (или исходное уравнение равносильно совокупности систем).

     Утверждение доказано в тексте параграфа. Доказательство основано на определении решения  уравнения и определении уравнения, равносильного совокупности систем (сначала показывается, что любое  решение уравнения есть решение  хотя бы одной из систем, затем –  обратно, что любое решение совокупности систем является решением исходного  уравнения). Оно реализовано с  помощью рассмотрения всех возможных  случаев: уравнение имеет решение, и уравнение не имеет решений. В последнем случае используется метод от противного.

• Уравнение равносильно системе

     Вообще  говоря, учащиеся знакомы с этим утверждением в следующей формулировке: дробь тогда равна нулю, когда  числитель равен нулю, а знаменатель  отличен от нуля. Здесь этот способ представлен в символьной форме.

     Здесь учащимся вводится знак, обозначающий равносильность ( ), что несколько упрощает запись и указывает на осуществление равносильного перехода.

     Ниже  следует параграф «Равносильность  уравнений на множествах». Здесь  формулируются определения равносильных уравнений на некотором множестве  M и равносильного перехода на множестве M от одного уравнения к другому (равносильного на множестве M преобразования уравнения). Определения строгие, формально-логические, аналогичны соответствующим определениям равносильных уравнений и равносильных преобразований, данным ранее.

     Как и ранее в общем случае здесь  выделяются основные преобразования уравнений, приводящие исходное уравнение к  уравнению, равносильному ему на некотором множестве чисел: