Автор: Пользователь скрыл имя, 03 Апреля 2013 в 10:48, задача
Требуется:
Найти плотность распределения вероятностей f(x);
Определить коэффициент А;
Схематично построить графики функций F(x) и f(x);
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;
Определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a; b).
1. Задана непрерывная случайная величина Х своей функцией распределения F(x).
0 при x £ 0
F(x) = Ах при 0 < x £ 4 a=2; b=7.
1 при x > 4
Требуется:
Решение.
Найдем значение параметра a, используя непрерывность функции F(x) в точке x = 4
А *4 = 1
Получаем значение А = 1/4
Дифференциальную функцию f(x), получаем дифференцируя функцию F(x) и подставляя значение А = 1/4
0 при x £ 0
f(x) = 1/4 при 0 < x £ 4
0 при x > 4
Графики функций F(x) и f(x);
f(x) |
|||||||||
1 |
|||||||||
|
0 2 4 6 X
F(x) |
|||||||||
1 |
|||||||||
0 2 4 6 X
Математическое ожидание случайной величины x:
дисперсия случайной величины x:
Определим вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (2; 7).
P(x1 £ X < x2) = F(x2 ) - F(x1 ) = F(7) - F(2) = 1 – 2/4 = 1/2
P(2 £ X < 7) = 0,5
2. Случайная величина задана функцией распределения F(x). Найти
а) плотность распределения случайной величины
б) вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b).
Найти числовые характеристики.
0 при x < 0
F(x) = x2 при 0 £ x £ 1
1 при x > 1
a) Плотность распределения вероятностей f(x), получаем дифференцируя функцию F(x)
0 при x < 0
f(x) = 2 x при 0 £ x £ 1
0 при x > 1
б) Определим вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (а; b).
P(а £ X < b) = F(b ) - F(а )
Математическое ожидание случайной величины х:
Дисперсия случайной величины x:
3. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами а (математическое ожидание) и s (среднее квадратическое отклонение).
Требуется:
а) написать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;
б) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала (a;b);
в) определить вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а не более чем на d.
а=9; s=3; a=3; b=12; d=6.
а) напишем плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х:
изобразим схематически график
f(x)
9 х
б) Вероятность того, что х примет значения, принадлежащее интервалу (3;12) составляет;
где Ф(х) – функция Лапласа. По таблице находим:
в) Вероятность того, что абсолютная величина отклонения Ix-аI окажется меньше d=6
4. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией F(x).
0 при x £ 3
F(x) = a (x - 3) при 3 < x £ 8
1 при x > 8
Требуется найти:
а) значение параметра а;
б) дифференциальную функцию f(x);
в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины x;
г) построить график функций F(x) и f(x);
д) вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (-1; 4).
Решение.
а) Найдем значение параметра a, используя непрерывность функции F(x) в точке x = 8
а *(8 - 3) = 1
Получаем значение а = 1/5
б) Дифференциальную функцию f(x), получаем дифференцируя функцию F(x) и подставляя значение а = 1/5
0 при x £ 3
p(x) = 1/5 при 3 < x £ 8
0 при x > 8
в) математическое ожидание случайной величины x:
дисперсия случайной величины x:
г) графики функций F(x) и p(x);
f(x) |
||||||||||||
|
||||||||||||
1/5
|
0 2 4 6 8 10 X
F(x) |
||||||||||||
|
||||||||||||
|
||||||||||||
0 2 4 6 8 10 X
д) Определим вероятность того, что случайная величина x попадет в интервал (-1; 4).
P(x1 £ X < x2) = F(x2 ) - F(x1 ) = F(4) - F(-1) = 1/5 – 0 = 1/5
P(x1 £ X < x2) = 0,2
5. . Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х имеет вид:
0 x £ p/2
F(x) = А+Вcosx p/2 < x £ p
1 x > p
Найти:
Решение.
Найдем значение параметров А и В, используя непрерывность функции F(x) сначала в точке x=p/2, используя первое и второе условия в описании функции F(x)
F(p/2) =0
F(p/2) = А+Вcos(p/2)=А Þ А=0
Теперь используем непрерывность функции F(x) в точке x=p, используя второе и третье условия в описании функции F(x)
F(p) = Вcosp= -В
F(p) = 1 Þ В= -1
Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х имеет вид:
0 x £ p/2
F(x) = -cosx p/2 < x £ p
1 x > p
Функцию плотности распределения f(x), получаем дифференцируя функцию F(x)
0 x £ p/2
f(x) = sinx p/2 < x £ p
0 x > p
Математическое ожидание случайной величины x:
дисперсия случайной величины x:
Определим вероятность попадания Х в интервал Р(0<X<2p/3)
P(x1 £ X < x2) = F(x2 ) - F(x1 ) = F(2p/3) - F(0) = -cos(2p/3) – 0 = 1/2
P(x1 £ X < x2) = 0,5
Построим графики функций F(x) и p(x);
f(x) |
||||||||||||
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
|
0 1 2 3 4 X
F(x) |
||||||||||||
|
||||||||||||
|
||||||||||||
|
0 1 2 3 4 5 X