24 кг помидоров разложили в 2 ящика, в 4 ящика, в 6 ящиков,  в 3 ящика, в 8 ящиков. Сколько килограммов помидоров в одном ящике? 

 

      При анализе данной таблицы выясняется:

1)  Какая величина  не изменяется?

2)  Какие величины  изменяются?

3)  Как они  изменяются?

      Зависимость между количеством ящиков и массой одного ящика при постоянной общей  массе можно смоделировать с  помощью схемы. Для этого в  тетради ученики могут изобразить 5 отрезков по 24 клетки, каждый из которых они делят на 2, на 4, на 6, на 3, на 8 одинаковых частей.

      Анализ  схемы позволит детям осознать зависимость  между количеством  ящиков и массой одного ящика при постоянной общей  массе.

      Использование перечисленных нами методических приемов (изменение одного из данных, интерпретация задачи в виде таблицы) при решении простых задач подготовит учащихся к решению составных задач с пропорциональными величинами.

      Для того чтобы дети не подходили формально  к решению этих задач, необходимо варьировать в их сюжетах постоянную величину. Тогда запись задачи в таблице и ее схематическая интерпретация будут восприниматься ребенком с необходимостью, и активизировать его мыслительную деятельность. В противном случае он будет ориентироваться на образец.

      Естественно, такой подход к решению задач  с пропорциональными величинами пишут С.А.Зайцева и И.Б.Румянцева, возможен в том случае, «если с самого начала знакомства с задачей велась целенаправленная работа по формированию у младших школьников умений анализировать текст задачи, выявлять в нем математические отношения, устанавливать взаимосвязь между данными и искомыми величинами и соотносить текстовую и схематическую модель задачи» [5].

      Кроме этого, авторы советуют «при решении  задач на нахождение четвертого пропорционального использовать различные способы ее решения.

      1. Способ прямого приведения к  единице»[5].

      Этот  способ состоит в том, что сначала  узнают значение единицы одной из пропорциональных величин, затем значение указанного в условии количества. К единице приводят величину, для которой даны оба значения. Рассмотрим на примере.

      Задача: На 6 одинаковых платьев  израсходовали 30 м  ткани. Сколько ткани  потребуется на изготовление 3 таких платьев?

      В этой задаче известны два значения количества и одно значение общего расхода. При решении способом прямого приведения к единице сначала находим расход на 1 платье:

      (30 : 6) ∙ 3 = 15 (м).

      В качестве тренировочных учащиеся выполняют  творческие задания на составление  задач по выражениям, например 84 : 6 ∙ 10, после того как учитель предложит тему, т. е. укажет, о каких величинах пойдет речь.

      2. Способ обратного приведения  к единице.

      Среди задач на нахождение четвертого пропорционального (на тройное правило) встречаются  те, которые наиболее рационально решать способом обратного приведения к единице. С ним также следует познакомить детей. Он сводится к нахождению соответствующего значения единицы той величины, для которой в условии указано лишь одно данное (одно значение). Она выявляется при записи в виде таблицы.

      Сопоставим  два способа решения одной  и той же задачи. 

 

      Из  таблицы видно, что дано одно значение времени, и два числа, обозначающих объем работы, т.е. сшитых детских платьев.

      Решая способом обратного приведения к  единице нужно узнать, сколько  за один час можно сшить таких  платьев.

      Сравним два способа решения.

 

      Задача: Для засолки 12 кг огурцов разложили  в 6 одинаковых банок. Сколько потребуется таких банок, чтобы разложить 24 кг огурцов?

 

      Ученики могут пытаться решить эту задачу способом обратного приведения к  единице: узнать массу огурцов в 1 банке (12 : 6 = 2 (кг)), а затем определить число банок, которое потребуется, чтобы засолить 24 кг  (24 : 2 = 12 (б.))

      Анализируя  условие задачи, учащиеся убеждаются, что нельзя узнать, сколько требуется  банок для засола 1 кг огурцов. Дети, более внимательные, вместе с учителем устанавливают зависимость между величинами: с увеличением массы возрастает и количество необходимых банок. Школьники определяют, сколько раз по 12 содержится в 24 кг, т. е. во сколько раз 24 больше 12, значит и банок получится во столько же раз больше.

      Решение: 6 ∙ (24 : 12) = 12 (б.)

      Проанализируем  способ решения задачи на пропорциональное деление на примере следующей задачи.

      Задача: Двум семьям нужно  уплатить в месяц  за газ 70 рублей. В  одной семье 4 человека,  а в другой 3 человека. Сколько должна уплатить в месяц каждая семья?

      В ходе решения этой задачи требуется 70 рублей представить в виде суммы  двух слагаемых пропорционально  числу людей каждой семьи. После  того как будет вычислено, что  всего в двух квартирах проживают 3 + 4 = 7 человек, предстоит ответить на следующие вопросы:

1. 7 человек должны уплатить 70 руб. Сколько должны уплатить 4 человека?
2. 7 человек должны уплатить 70 руб. Сколько должны уплатить 3 человека?

      Составлены  две задачи на нахождение четвертого пропорционального.

      Подвести  учащихся к самостоятельному решению  задач  на пропорциональное деление  можно через преобразование задач  на нахождение четвертого пропорционального  или в результате составления  задачи по рисунку: 
 
 
 

• Что могут обозначать квадраты? (Ящики.)
• Что обозначает число 70 кг? (Массу продуктов.)
• Составьте задачу.

      Дети  способны предложить, например, такой  вариант: «С одной грядки собрали 4 одинаковых ящика огурцов, а с другой 3 таких же ящика. Всего собрали 70 кг огурцов. Сколько огурцов собрали с каждой грядки?»

Решение задачи можно записать в виде выражений:

70 : (4 + 3) ∙ 4

70 : (4 + 3) ∙ 3

      Также можно использовать данные способы  и при  решении задач на нахождение неизвестного по двум разностям.

     При решении задач на пропорциональное деление, в содержание которых входят цена, количество, стоимость, приходится сумму двух значений количества предметов распределять прямо пропорционально двум числам. Если в каждом из рассмотренных случаев заменить сумму двух количеств их разностью, можно получить четыре различных вида задач с пропорциональными величинами. Одним из данных в них будет разность двух значений какой-либо из указанных выше величин. Таким образом, мы получили задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

     Покажем на конкретном примере взаимосвязь задач на пропорциональное и деление и задач, имеющих в качестве одного из данных разность двух значений определенной пропорциональной величины.

     Задача: Купили 7 м шелка  и 5 м шерстяной  ткани по одинаковой цене. За всю ткань заплатили 360 рублей. Сколько денег заплатили за шелк и за шерстяную ткань отдельно?

     В беседе целесообразно выяснить, что  в задаче известно, что требуется  узнать, и записать ее текст кратко: 

     7 м шелка       ?

                                   360 руб.

     5 м шерстяной ткани     ? 

     Можно и предлагать начертить схему.

     Решение записывается в виде выражений:

     360 : (7 + 5) ∙ 7     

360 : (7 + 5) ∙  5

Ответ: 210 рублей заплатили за 7 м шелка,

       150 рублей заплатили за 5 м шерстяной  ткани.

     Чтобы установить связь между условием задачи и способом решения, обычно проводится анализ решения.

• Что означает число 360? (Сумму стоимости двух различных групп предметов.)
• Что получаем в результате деления суммы стоимости на сумму предметов? (Цену.)
• Цену умножаем на число предметов, что получаем? (Стоимость.)

      Используя текст данной задачи, под руководством учителя учащиеся могут составить  обратную. Вместо знаков вопроса ставят полученные ответы, число 360 стирают, получают такую запись:

     7 м шелка       210 р. 

      5 м шерстяной ткани     150 р. 

      Вначале целесообразно выяснить, почему же за 7 м шелка заплатили больше, чем за 5 м шерстяной ткани,  и на сколько больше. Заносят данные в таблицу, преобразуют ее и получают такую: 

     7 м шелка    на 60 рублей больше   ? 

     5 м шерстяной ткани        ? 

       По полученной краткой записи  дети составляют задачу: «Купили 7 м шелка и 5 м шерстяной ткани по одинаковой цене. За шелк уплатили на 60 рублей больше, чем за шерстяную ткань. Сколько денег уплатили за шелк и шерстяную ткань отдельно?»

     Решение записывается в виде выражений:

     60 : (7 – 5) ∙ 7

     60 : (7 – 5) ∙ 5

     Выяснение того, что обозначает каждое число  в этих выражениях необходимо для  осознанной работы. Далее учащиеся вычисляют их значения и дают ответ  на вопрос задачи.

     Следовательно, как мы узнали, для наиболее успешной работы над формированием у младших школьников навыка решения задач с пропорциональной зависимостью целесообразно вести систематическую, целенаправленную методическую деятельность при которой важно применять систему методических приемов.