Величина  предельной ошибки прогноза рассчитывается: Δ = t*S, где t – коэффициент доверия (зависит от заданной вероятности и от объема/длины ряда: <30 – то см. в табл. Стьюдента, > - см. в табл. Лапласа)

     S – стандартная (среднеквадратическая) ошибка уравнения тренда.

Раздел 4. Изучение автокорреляция в рядах динамики и построение авторегрессионных моделей.

    Авторегрессионные модели – это еще один метод для описания основной тенденции динамического ряда и прогнозирования. Для построения авторегрессионных моделей необходимо, чтобы в рядах динамики была автокорреляция.

    Автокорреляция  в рядах динамики – зависимость  между исходным временным рядом  и тем же рядом, смещенным на определенный лаг  (временной интервал).

    Т.о., оценка автокорреляции в рядах динамики предшествует построению авторегрессионных моделей.

    Для оценки автокорреляции в рядах динамики рассчитывают коэффициент автокорреляции:

    

    , где y_t  - уровни исходного ряда,

           y_t-1 – уровни смещенного ряда,

           i – временной лаг,

          δ_yt , δ_yt-i – стандартные отклонения, рассчитанные на основе исходного ряда и смещенного ряда.

    Если  динамический ряд y_t достаточно большой  и i = 1, то дисперсии рядов y_t и y_{t-1 ,} а также их средние уровни практически равны. Поэтому формулу можно записать следующим образом, коэффициент корреляции 1-го порядка:

                    

    

    Коэффициент автокорреляции находится в пределах: ׀0;1׀.

    Статистическая  значимость коэффициента автокорреляции оценивается с помощью t–статистики:

    , где  r_{a –}коэффициент автокорреляции,

    δ_а – стандартная ошибка коэффициента автокорреляции.

    Расчетное значение t–статистики сравнивают с табличным. Если фактическое больше/равно табличному значению, то коэффициент автокорреляции признается значимым. Это подтверждает наличие автокорреляции в уровнях ряда.  
 

    После установления наличия автокорреляции в динамическом ряду, тенденция рассматриваемого динамического ряда может быть описана  с помощью уравнения авторегрессии.

    В качестве зависимой переменной в  уравнении – исходный временной  ряд. В качестве фактора – исходный ряд, смещенный на временной лаг.

    Авторегрессионная модель первого порядка (lag=1):

    

.

    Авторегрессионная модель второго порядка: 

    

   и т.д. 

    Построенное уравнение авторегрессии необходимо проверить на пригодность:

1. оценка статистической значимости параметров уравнения с помощью t–статистики. Если какой-либо параметр не значим, то можно строить уравнение авторегрессии более низкого порядка.
2. Оценка статистической значимости уравнения в целом по критерию Фишера.

    Если  уравнение в целом значимо  и его параметры значимы, при  условии, что величина коэффициента детерминации более 50%, это уравнение  авторегрессии признается пригодным для прогнозирования. 

    Автокорреляционная  функция

    По достаточно длинным рядам динамики можно рассчитать серию коэффициентов автокорреляции различных порядков (последовательно увеличивая величину лага).

    Последовательность  коэффициентов автокорреляции различных  порядков называют автокорреляционной функцией.

    При расчете коэффициентов автокорреляции высоких порядков мы не можем ожидать  их высокой достоверности в соответствии с условием действия ЗБЧ, т.к. увеличивая порядок, увеличивается величина временного лага, на который смещается исходный ряд. И при их расчете сокращается  число уровней, на базе которых рассчитывается коэффициенты автокорреляции.

    Автокорреляционная  функция дает представление о  внутренней структуре временного ряда; позволяет увидеть наличие (отсутствие) периодических колебаний;  а также определить период колебаний, он равен величине лага, при которой значение коэффициента автокорреляции наибольшее.

    Графическое представление автокорреляционной функции называется коррелограмма.

    Также построение автокорреляционной функции  позволяет определить порядок уравнения  авторегрессии, он равен порядку коэффициента автокорреляции с наибольшим значением. Напомним, порядок коэффициента определяется величиной временного лага. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.1. Авторегрессионная модель по экспорту Великобритании

    Проверим  динамический ряд по экспорту Великобритании на наличии автокорреляции в уровнях с помощью программы Statistica. Получаем последовательность коэффициентов автокорреляцию до 5-го порядка. Эти коэффициенты образуют автокорреляционную функцию.  

    Табл.14. Коэффициенты автокорреляции по ряду экспорта Великобритании.

     Получаем, что все коэффициенты автокорреляции статистически значимы. Берем коэффициент  с наибольшим значением, т.е. при  лаге=1.

    Проверяем статистическую значимость коэффициента автокорреляции с использованием t-статистики, вычисленной с помощью столбцов таблицы следующим образом:

    

    t-факт.=4,87 > t-табл. = 1,81 (табличное значение, соответствующее уровню вероятности 95% из распределения Стьюдента). 
 

    График  9. Графическое изображение коэффициентов автокорреляции по ряду экспорта Великобритании.

    

 

    Как видно, Это свидетельствует о  наличие автокорреляции в динамическом ряду, а именно – по ряду экспорта Великобритании.

    Т.о., можно говорить о построении уравнения  авторегрессии для ряда экспорта Великобритании.

    Поскольку в нашем примере максимальное значение имеет коэффициент автокорреляции первого порядка, построим авторегрессионную модель, сместив исходный ряд на 1 лаг, т.е. модель первого порядка.   

    Табл.15. Результаты расчетов параметров авторегрессионной модели по ряду экспорта Великобритании за 1977-2006 гг.

    Как видно, параметр b₀ статистически не значим (0,2<2), а, следовательно, Авторегрессионная модель 1-го порядка непригодна для описания тренда ряда и для прогнозирования.

    В Таблице 15 исходный ряд смещен на 1 временной лаг, параметры для уравнения регрессии 1-го порядка статистически не значимы, следовательно, смещать ряды далее не имеет смысла.

    Однако  покажем полученное уравнение авторегрессии:

. 

    Табл.16. Результаты расчетов параметров авторегрессионной модели по ряду экспорта Великобритании за 1977-2006 гг. 

 

    Необходимо, чтобы уравнение и все его  параметры уравнения авторегрессии были статистически значимы. 

    Но  т.к. один из параметров уравнения авторегрессии статистически незначим, оно не может быть использовано для прогнозирования.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.2. Авторегрессионная модель по импорту Великобритании

    Проверим  динамический ряд по импорту Великобритании на наличии автокорреляции в уровнях с помощью программы Statistica. Получаем последовательность коэффициентов автокорреляцию до 5-го порядка. Эти коэффициенты образуют автокорреляционную функцию.

    Табл.17. Коэффициенты автокорреляции по ряду импорта Великобритании.