Контрольная работа по "Логистике"

      Содержание  

      Задача 1 3

      Задача 2 8 

 

Задача №1 

      Предприятие выпускает два вида продукции и , для производства которых используют три вида сырья . На производство единицы j-го вида продукции требуется единиц i-го вида сырья. Предприятие имеет запасы каждого вида сырья, соответственно, единиц. Прибыль имеет предприятия от реализации единицы j-го вида продукции составляет с_j денежных единиц. Требуется найти план производства х_i единиц первого вида продукции, при котором суммарная выручка предприятия будет наибольшей. С этой целью:

1. Записать задачу линейного программирования
2. Решить е геометрическим способом.
3. Решить ее симплекс-методом.
4. Составить двойственную задачу и решить ее.

 
 

      РЕШЕНИЕ:

      1) Запишем данную задачу в форме задачи линейного программирования. Элементами решения будут   - количества единиц изделия , , которые необходимо произвести. Обязательность выполнения задачи запишется ограничений-неравенств: .

      Каждого трех видов сырья должно хватить, отсюда следуют три ограничения-неравенства:

      

      Прибыль будет равна  . Таким образом, сформулирована задача линейного программирования:

      

      

      2) Решим эту задачу геометрически:

      Пусть дана прямоугольная система координат  .построим решение системы неравенств.

         

1. - решением этого неравенства является полуплоскость с границей        

точка О(0;0) – принадлежит этой полуплоскости, т.к. ее координаты удовлетворяют (1). 

2. - решением  этого неравенства является полуплоскость с границей

О(0;0) принадлежит  этой полуплоскости, т.к. ее координаты удовлетворяют (2).

3. - полуплоскость с границей  

О(0;0) принадлежит  этой полуплоскости т.к. ее координаты удовлетворяют (3).

4. - первый квадрант.

 

      

      Пусть L=0, тогда 

      Вектор  указывает направление увеличения L; в вершине А достигается максимального значения, которое найдем как пересечение прямых.

           А (95;45)

        д.ед.

      3) Решаем симплексным методом задачу.

      Для этого представим ее в канонической форме, введя дополнительные переменные , которые имеют смысл остатков неиспользованного сырья, соответственно, первого, второго и третьего видов:

      

      Функцию L представили в неявном виде:

      

      Пусть - свободные переменные, а - базисные.

      

      Пусть , тогда . При этом , т.е. если ни один вид продукции не производится. Все ресурсы остаются неиспользованными, а, следовательно, прибыли нет.

      Для нахождения оптимального решения необходимо одну из базисных переменных превратить в свободную.

      В последней строке таблицы среди  отрицательных значений находим  наибольшее по абсолютной величине (это (-33)). Ведущий столбец соответствует переменной . Делим свободные члены на соответствующие элементы ведущего столбца и среди частных от деления находим минимальное, т.е. .

      Ведущей является первая строка, которая соответствует  старой базисной переменной . - переводится в свободные. На пересечении ведущей строки и ведущего столбца находится разрешающий элемент .

      Ведущую строку переписываем во вторую таблицу, поделив предварительно все элементы строки на ; все элементы ведущего столбца заменяем нулями, кроме разрешающего.  Переменная переводится в свободные, ведущую строку записываем во вторую таблицу, поделив все элементы строки на разрешающий элемент. Все элементы ведущего столбца заменяем нулями, кроме разрешающего элемента.

      Остальные элементы переписываем по правилу прямоугольника.

      

,

        где  - элемент ведущего столбца, стоящий в одной строке с ;

             - элемент ведущей строки, стоящий в одной строке с .

      Получим симплексную таблицу:

      Базисные  переменные: . Свободные переменные: . Прибыль д.ед.

      Полученное  решение не является оптимальным, т.к. в последней строке есть отрицательный элемент.

      Преобразуем аналогично полученную таблицу:

      В последней строке все элементы положительные, это означает, что полученное опорное решение является оптимальным.

      Предприятие получит максимальную прибыль при  выпуске  =95 единицы изделия ; и =45 единиц изделия . При этом ресурсы первого и третьего вида будут использованы полностью . По ресурсу второго вида будет остаток кг. Прибыль предприятия составит: д.ед.

      4) Двойственная задача по отношению к исходной, состоит в следующем.

      Каковы  должны быть оценки единицы ресурсов каждого типа, чтобы при заданных количествах сырья и стоимости единицы изделий каждого вида общие затраты производства были минимальными.