Контрольная работа по "Математике"

1. Первого сентября на первом курсе в расписании стоит 3 лекции по разным предметам ( всего изучается 10 предметов ). Студент, не знающий расписания пытается его угадать. Какова вероятность успеха в данном эксперименте, если считать, что любое расписание из 3 предметов равновозможно ?

Р е ш е н и е    :

 Применим классическое определение  вероятности

   ,

 где n –  число исходов эксперимента, благоприятствующих 

             появлению события,

        N – общее число исходов эксперимента.

В данном случае n = 1 ( расписание на 1 сентября ), N равно  количеству возможных упорядоченных  троек названий предметов из 10 возможных, т.е. по определению это количество размещений     .

Значит искомая вероятность        

2. Установлено, что походка человека почти также неповторима, как и отпечатки его пальцев, т.к. совпадение по основным параметрам встречается не чаще, чем 1 на 10 миллионов человек. Какова вероятность принять за террориста обычного туриста при ежедневном контроле в аэропорту, если за 1 день через аэропорт проходит в среднем 30 000 человек ?

Р е ш е н и е    :

 Из условия задачи следует,  что существует 10⁷-1 вариантов походок. Если представить варианты походок клетками квадрата 1000´10000 ( без 1 клетки ), то  можно сказать, что нужно найти вероятность р того, что одна выбранная клетка попадёт в произвольную фигуру, состоящую из 30 000 клеток этого квадрата. По определению геометрической вероятности

  р = 30000 / ( 10⁷ –1) = 0,003 .

3. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания при одном выстреле 0,9 и 0,7 соответственно. Найти закон распределения случайной величины Х – числа попадпний в мишень.

Р е ш е н и е    :

По смыслу задачи Х может принимать  значения 0, 1, 2. Найдём их вероятности, обозначив А₁ – попадание первого стрелка, А₂ – второго.

Тогда

 

 

.

Закон распределения Х показан  ниже.

Х	0	1	2
р	0,03	0,34	0,63

 

4. Дана плотность распределения вероятностей случайной величины (СВ) Х 

  

Найти постоянную С  и   р( 0,5 < x < 0.8 ).

Р е ш е н и е    :

По свойству плотности распределения вероятностей   .

Находим

Значит

.

Вероятность попадания СВ Х, плотность  распределения вероятностей которой  f(x), в интервал ( 0,5; 0,8 ) находим по формуле

 

 

5. Имеются 2 урны. В первой 3 белых и 2 чёрных шара, во второй – 5 белых и 3 чёрных. Из первой и второй урны, не глядя, берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары в третьей урне перемешивают и наугад достают из неё 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

 Р е ш е н и е    :

Обозначим события

А – из первой урны взят белый шар, В – из второй урны взят белый шар,

С₁ – в третьей урне 2 белых шара, С₂ – в третьей урне 1 белый и 1 чёрный шар,  С₃ – в третьей урне 2 чёрных шара. Тогда

Событие D – из третьей урны взят белый шар – появляется при осуществлении одной из 3 гипотез С₁, С₂, С₃ и по формуле полной вероятности

 

 

6. Стрельба ведётся по т.О вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полёта снаряда равна 1200 м. Предполагая, что дальность полёта Х распределена по нормальному закону со средним квадратичным отклонением 40 м, найти вероятность того, что выпускаемый снаряд даст прелёт от 60 до

     80 м.

Р е ш е н и е    :

Плотность распределения вероятностей данной СВ Х 

  ,

где а – математическое ожидание ( среднее значение ) СВ Х,

       σ – среднеквадратичное  отклонение СВ Х .

Вероятность того, что данная СВ Х  примет значение из интервала ( α; β )

 

где 

В данной задаче а = 1200, α = 1260, β = 1280, σ = 40. Тогда

по таблицам находим  Ф(1,5) = 0,4332 ,  Ф(2) = 0,4772. Значит