Уравнения с параметрами

№4.

 

При каком значении параметра р данное уравнение имеет только одно решение или не имеет вообще. 

 

                                          

                                                                                                       

 
 

D = 0 – одно решение, D < 0 – решений нет при p>5

D = 16 – 8( р-3) = -8р +40

-8р + 40 = 0

8р = 40

р = 5

Подставляем это  значение в полученные уравнения.

 

Ответ: [5; -∞).

№5. 

 т.к. модуль  всегда неотрицательная величина, то если сумма модулей равна  0 то каждое подмодульное выражение  равен 0.   

x + 2 = 0

a²x = 0 

x = -2               или         x = -2

a = 0                                x = 0 

Ответ: если а = 0, то х = -2, если а ≠ 0, то решений нет.  

№6. 

т.к. в полученном уравнении параметр а роли не играет, то у данное уравнение подойдут все значения параметра а.

х = 0   х  – 2 = 0

            х = 2 

Ответ: 0;2. 

№7.  

1) а > 2   1) а < - 2

решений нет,                       х = -2 - а

т.к. модуль равен           2)  а = -2

отриц. числу                         х = 0

2) а = 2                              3)  а > -2

х = 0                                      решений нет.

3) а < 2

х = 2 - а 
 
 

Ответ: [-2;2]. 

№8. 

│2х-5│= m-3

Количество корней уравнения данного вида зависит  от знака правой части. Рассмотрим три  случая.

1. m-3<0

     m<3 – корней нет, т.к. модуль неотрицательная величина.

2. m-3=0

    m=3

уравнение принимает  вид:

    │2x-5│= 0

     2x = 5

     x = 2,5

3.  m-3 > 0

     m > 3.

уравнение равносильно  совокупности:

   

Ответ: при m<3 – решений нет; при m=3, x = 2,5;  при m>3,  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Уравнения с параметрами  в ГИА 

  Одним из самых сложных заданий для  девятиклассников в ГИА являются уравнения с параметрами. 

ЭТО ПРЕГОДИТСЯ НА ГИА: 

 Для решения целого уравнения с параметрами нужно следовать алгоритму:  

1. Привести  уравнение к стандартному виду и  проверить, зависит ли коэффициент  при старшем члене от параметра. Если зависит, то рассмотреть случай, когда он равен нулю.
2. Решить уравнение при условии, что коэффициент при старшем члене не равен нулю.
3. Объединить все полученные результаты. В ответе для каждого возможного значения параметра должны быть записаны формулы корней уравнения.

 

 Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

1. имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
2. каждое решение первого является решением второго и наоборот.

Если данные уравнения вовсе не имеют решений, то они также считаются равносильными. 

Таблица зависимости  графика от переменной и параметра. 

Задание №1. 

Решите уравнение 

Уравнение равносильно  системе:

По теореме  Виета корнями первого уравнения  будут являются: а и а + 1

соответственно, система приобретает вид:

Рассмотрим три  случая:

1. Если а = 1, то система примет вид:

   

2. Если а + 1 = 1, т.е. а = 0, то система примет  вид:

     

3. Если а ≠  1 и а ≠ 0, то система

     

  имеет два  решения х = а, х = а +1 

Ответ: если а = 1, то х = 2; если а= 0, то х = 0; если а ≠ 0 и  а ≠ 1, то х = а или

 х = а +1 
 

Задание №2. 

Найдите все  значения a, при которых равносильны данные уравнения.

x² +2(a-1)x + a²  - 7a + 12 = 0  и x² + (a²-5a+6)x = 0 

 Заметим, что х = 0 является конем второго уравнения, так как уравнения равносильны, то х = 0 должно быть корнем и первого уравнения. Это возможно лишь при условии а² - 7а +12 = 0, т.е при а = 4 или а = 3.

Итак, уравнения  могут быть равносильными только при а = 3 и а = 4.

Если а = 3, то первое уравнение имеет вид:

х²  +4х = 0 и  имеет корни х = 0 и х = - 4;

второе уравнение  имеет вид:

х²  + 0*х = 0  имеет один корень х = 0.

Уравнение имеют  разное множество корней и потому не являются равносильными. Если а = 4, то уравнения имеют вид

1) х² + 6х = 0,    х = 0 или х = - 6

2) х² + 2ч = 0,    х = 0 или х = - 2

Уравнения вновь  оказались неравносильными. 

Ответ: ни при  каких значениях a уравнения не являются равносильными. 

Задача  №3. 

При каких  значениях параметра а уравнение  имеет два различных отрицательных  корня? 

x² - 2(a -1)x + 2a + 1 = 0.

Заметим, что  при всех значениях а графиком

 функции y = x² - 2(a -1)x + 2a + 1 = 0 

 является парабола, ветви которой

направлены вверх.

Изобразим схематично график функции,

удовлетворяющий условию задачи.

Для того, чтобы  корни были различны и отрицательны,

необходимо и  достаточно, чтобы

                     

Решением системы, а следовательно, и самой задачи являются числа а из промежутка ( -0,5; 0).  

Ответ: (-0,5; 0). 

Заключение 

     Математика  – царица всех наук. И это действительно  так. Все науки подчиняются самой главной -  математике. Чем больше углубляешься в математику, алгебру, тем более и более тебя поражает масштаб и мощь этих наук. В одной маленькой буковке, на первый взгляд незначительной, кроется множество различных решений. Кто бы мог подумать, что одна буква меняет все уравнение и весь смысл поставленной задачи.    

В результате изучения материала для работы я  усвоила:

- научилась  решать задачи более высокой  по сравнению с обязательным  уровнем сложности,

- овладела  рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.

-  умело  обращаться с параметром и  решать уравнения, содержащие  параметр. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемой литературы 

1. «Алгебра. Нестандартные задачи. 9 класс. Подготовка к ГИА.» Г.В. Сычева; Н.Б.Гусева; В.А. Гусев. / Москва/ 2009г. / 

2. «Линейные и дробно-линейные уравнения и неравенства с параметрами»

Л.Солуковцева /Москва/ 2007г./ 

3. Математический энциклопедический словарь//Москва, «Советская энциклопедия», 1988 

4. Алгебра и элементарные функции Калнин Р.А.. – 2 – е изд. – М.: «Наука» 1966.г.,  

5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класс.: – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2000 г. 

6. Газета «Математика» Издательский дом «Первое сентября». 

7. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре 8 – 9 классов: Учебное пособие для учащихся и классов с углубленным изучением курса математики М.: Просвещение 1992 г. 

8. Вавилов В.В. Задачи по математике. Алгебра М.: Наука 1987 г. 

9. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. М.: Наука 1989 г.