Уравнения с параметрами

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

работа

 по  алгебре по теме:

«УРАВНЕНИЯ  С ПАРАМЕТРАМИ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Подготовила

Ученица 9 класса «В»

МОУ СОШ  № 40

Климанёва Анна 

Учитель:

Салий Валентина  Павловна 
 
 
 
 
 

                                         Г. Новороссийск 2010год

Оглавление 

Введение  ……………………………………………………………………. 3

Цель работы   ………………………………………………………………... 4

Задачи   ………………………………………………………………………. 5

Общие определения   ………………………………………………………... 6

I глава. Линейные уравнения с параметрами

Теория  …………………………………………………………………… 7

Практика  ………………………………………………………………… 8

II глава. Квадратные уравнения с параметрами

Теория  …………………………………………………………………… 12

Практика  ………………………………………………………………… 15

III глава. Дробно – рациональные уравнения с параметрами

Теория ……………………………………………………………………. 19

Практика  ………………………………………………………………… 20

IV глава.  Уравнения с модулем и параметрами

Теория ….………………………………………………………………… 26

Практика  ………………………………………………………………… 27

V глава. Уравнения с параметрами в ГИА.   ………………………………. 31

Заключение  ..………………………………………………………………… 34

Список используемой литературы  ….……………………………………… 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

      Известно, что решение задач с параметрами  приводит к систематизации имеющихся  знаний, развивает творческое мышление, учит детей к поиску нестандартных  ситуаций, тем самым показывает деятельность людей, связанных с математикой. 

  Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики. При решении  задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных  методов решений, умение проводить  довольно разветвленные логические построения, аккуратность и внимательность для того, чтобы не потерять решений и не приобрести лишних. Это требует от школьника более развитого логического мышления и математической культуры, но, в свою очередь, эти задачи сами способствуют их развитию. Опыт вступительных экзаменов показывает, что учащиеся, владеющие методами их решения, обычно успешно справляются и с другими задачами.

      Задачи  с модулями и параметрами играют важную роль в формировании логического  мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные трудности. Это связано с тем, что каждое уравнение  с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Решение задач в математике является эквивалентом эксперимента. Работа строится на решении различных по степени важности и сложности задач.

  Задачи  с параметрами представляют собой  небольшие исследовательские задачи. Однако часто оказывается, что выпускник  школы либо вообще не имеет представления о решении задач с параметром, либо теряется даже в случае самого простого вида подобных задач, когда единственным усложняющим моментом является ветвление решения и, соответственно, ветвление ответа.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Цель  работы 

     Задачи  с параметрами практически не представлены в школьном курсе математика. Между тем они часто встречаются  на вступительных экзаменах в  вузы, причем не только на математические специальности, но и на гуманитарные. Для решения задач с параметрами  не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.

     Цель  моей работы изучить методы решения  различных уравнений с параметрами  и научится применять теоретические знания на практике. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задачи  

В процессе подготовки работы были поставлены задачи:

- изучение теоретического  материала

- изучение параметра  как математический термин

- применение  теоретических знаний на практике

- подготовка  к ГИА 
 

             Главная задача работы  является  ознакомление с теоретическими  основами  решения  уравнений   с  параметрами, основными   их видами  и  рекомендациями  к  решению. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Общие определения 

Равенство, содержащие переменную, называется уравнением, если необходимо найти значения переменной, при которых оно обращается в верное числовое равенство.

Уравнение с  одной переменной в общем виде записывается так:

1

Значение переменной при котором уравнение является верным, называется корнем уравнения.

Множество значений переменной x, при которых имеют смысл выражения и , называется областью допустимых значений переменной (ОДЗ)  или областью определения уравнения. 

Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение. 

Уравнение с параметрами — математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Пример линейного  уравнения с параметром

 
 
 
 
 
 

Линейное уравнение.

Линейное  уравнение — это уравнение, обе части которого могут быть выражены многочленоми (от неизвестных) первой степени.

Линейное уравнение  можно привести к виду: ax + b = 0.

Количество решений  зависит от параметров a и b. Если a = b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку ,

Если  , то уравнение не имеет решений, поскольку

 

Если  , то уравнение имеет единственное решение

Линейное уравнение  не может содержать:

• Не содержит степеней и экспонент. 
  Например: 
• Не содержит деления на переменную и произведения переменных. 
  Например: 
• Не содержит корня любой степени из переменной. 
  Например: 

 
 

Два основных правила  преобразования уравнений:

• В уравнении можно перенести слагаемые из одной части в другую, изменив при этом его знак на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от 0.

Решить  уравнение – это значит найти множество его корней. 
 
 
 
 
 
 

Решение линейных уравнений  с параметром. 

№1. 

ax – 6 = 2a –  3x

ax + 3x = 6 + 2a

( a + 3 ) x  = 2 ( a + 3 ) 

Рассмотрим все  возможные случаи 

a = - 3   и  a ≠ 0

если a = - 3 то х R

 a ≠ -3

x = 2 

Ответ: если a = - 3, то х R; если a ≠ -3, то x = 2 

№2. 

( a – 2 )x = 10 –  5x

a = 2  или   a ≠ 2

если   a = 2

0 = 10 – 5x

5x = 10 I :5

x = 2

если  a ≠ 2

ax – 2x = 10 –  5x

ax + 3x = 10

x (a + 3 ) = 10

Ответ: при a = 2, x = 2; при a ≠ 2, , кроме а ≠ - 3 

№3. 

( 5b – 20 )х = 15

b = 4   или b ≠ 4

0x = 16 – решений нет

b ≠ 4

 

Ответ: при b = 4 – решений нет; при b ≠ 4,  

№4. 

8x – ( 2x + 4 ) = 2( 3x – a)

8x - 2x – 4 = 6x –  2a

6x – 6x -4 = -2a

2a = 4 I :2

a = 2 

Ответ: при любых  значениях а в данном уравнение х R. 

№5. 

( 5a – 1 ) x = 2a + 3

5a – 1 = 0                 2a + 3 = 0

5a = 1 I : 5                2a = -3 I : 2

a = 0,2                        a = - 1,5

a ≠ 0,2   и   a ≠ 1,5

( 5a – 1)x = 2a + 3

   

Ответ: при  а = 0,2 и а = - 1,5 данное уравнение не имеет  смысла; при a ≠ 0,2   и   a ≠ 1,5,  

№6.  

( а + 7) х = 3

а = -7   или  а ≠ -7

если  а = -7

0х = 3 – корней  нет

а ≠ -7

( а + 7)х = 3

Ответ: при а = -7 данное уравнение корней не имеет; при а ≠ -7, .