Расчет и анализ сложной электрической цепи постоянного тока

Введение 

В процессе выполнения курсовой работы мы попытаемся проанализировать

схему разветвленной электрической цепи постоянного тока. Рассмотрим различные методы определения токов, напряжений и узловых потенциалов. Проверим на практике различные законы Ома, законы Кирхгофа, баланса мощностей. Наглядно графическим методом покажем зависимость напряжения от сопротивления путем построения потенциальных диаграмм, для замкнутых контуров. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Преобразование  электрической цепи

 

1. Схема заданной электрической цепи

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 1 – Схема заданной электрической  цепи 
 

2. Упрощение заданной электрической цепи

 

Исходные  данные:

   

Заменяем  последовательно и параллельно  соединенные резисторы четвертой  и шестой цепи эквивалентными:

Ом,

 Ом. 

Преобразим  источник тока в источник ЭДС:

 В. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 2 - Схема упрощенной электрической  цепи 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Расчет  и анализ сложной электрической  цепи постоянного тока

 

1. Составление на основании законов Кирхгофа системы  уравнений для расчета тока

 

а) Произвольно  указываем и указываем на схеме  направления токов в ветвях;

б) В  схеме имеем шесть неизвестных  токов ( - ), следовательно система должна состоять из шести уравнений( );

в) В  схеме четыре узла ( ), следовательно по первому закону Кирхгофа необходимо составить три уравнения ( - =3) – на одно уравнение меньше, чем количество узлов;

г) Остальные (контурные) уравнения составляются по второму закону Кирхгофа ( - );

д) Согласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма токов в узле электрической  цепи равна нулю. Знак тока выбираем в зависимости от направления  тока – к узлу или от узла;

е) Согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях контура равна алгебраической сумме  ЭДС этого контура. Знак падения  напряжения и ЭДС определяется в зависимости от его направления по отношению к направлению обхода этого контура;

ж) В  соответствии с пунктами б - е получаем следующую систему уравнений: 

Узел  а:   - -

Узел  d:  - -

Узел  с:   - +  

Контур a-с-b-a: 

Контур a-d-c-a:

Контур  d-b-c-d:   
 

2. Определение токов в ветвях методом контурных токов

 

а) Произвольно  выбираем и указываем на схеме  направления токов  , , . Количество контурных токов должно быть равно количеству уравнений, составляемых для расчета цепи по второму закону Кирхгофа. Направление токов в ветвях также выбираем произвольно. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 3 – Схема с направлениями контурных  токов 
 

б) Для  контурных токов составляем систему  по второму закону Кирхгофа. 

Контур a-c-b-a: 

Контур a-d-c-a:

Контур d-b-c-d:    

в) Подставляем  численные значения:

 

А

А

А 

г) Определяем неизвестные  токи как алгебраические суммы контурных токов в соответствующих ветвях:

 
 
 
 

3. Определение токов в ветвях схемы методом узловых потенциалов

 

а) Условно  заземляем одну из точек цепи (принимаем  потенциал  );

б) Записываем систему узловых уравнений:

    

здесь - собственные проводимости узлов (сумма проводимостей всех    ветвей, подключенных к узлу k);

- взаимные проводимости узлов  (сумма проводимостей всех узлов,  соединяющих узлы k и h, взятая с обратным знаком);

- узловые токи (алгебраическая сумма всех источников, подключенных к узлу k). 

в) Находим  проводимости и узловые токи:

  

г) Подставив  в систему численные значения, находим потенциалы узлов:

    

 

д) Определяем токи в ветвях по формуле :

 
 

4. Сравнение результатов расчета токов двумя  методами

 
 
 

Результаты  расчета токов ветвей обоими методами одинаковы, значит расчеты выполнены верно. 
 
 

5. Составление баланса мощностей в исходной схеме

 

а) Составляем уравнение баланса мощности, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок.

   

 

б) Подставляя в уравнение баланса мощности численные значения исходных данных и полученных значений, убеждаемся в правильности решения:

Баланс  сходится. 
 

6. Определение тока методом эквивалентного генератора

 

а) Любой  участок электрической цепи, имеющий  два вывода (полюса), называется двухполюсником. Если двухполюсник содержит источники  питания, он называется активным. Согласно теореме об эквивалентном генераторе любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным ему генератором с и двухполюсника. Представляем всю цепь, за исключением пятой ветви, как активный двухполюсник. Так как пятая ветвь теперь разомкнута, все токи, отличаются от токов в исходной схеме. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 4 – Цепь в виде активного двухполюсника 
 
 

б) Так  как  , необходимо найти потенциалы узлов методом узловых потенциалов, при условии, что пятая ветвь разомкнута:

Возьмем значения для уравнений из пункта 2.3, кроме  , так как там присутствует .

Новое значение

 

 

в) Находим  эквивалентную ЭДС (напряжение холостого  хода):

 

г) Для  определения внутреннего сопротивления  двухполюсника исключим из схемы  все источники электрической энергии. Для наглядности сопротивления , и , соединенные треугольником, изобразим на схеме как геометрический треугольник. Для вычисления эквивалентного сопротивления двухполюсника предварительно преобразуем треугольник сопротивлений - - в звезду , а затем определим , используя законы последовательного и параллельного соединения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 5 – Схема  с треугольником                Рисунок 6 – Схема со сопротивлений                                                    звездой сопротивлений 

   

 

Сопротивления и , и соединены последовательно, поэтому

 

Сопротивления и соединены параллельно:

 

Сопротивления и соединены последовательно, и их общее сопротивление равно :

 

д) Определяем ток пятой ветви по закону Ома:

. 
 
 
 

7. Потенциальная диаграмма

 

Потенциалы  узлов a, b, c, d уже найдены. Определим потенциалы точек n, m и k. Обход контура примем положительным по часовой стрелке: