Задачи по "Статистике"

ЗАДАЧА  № 1 Вероятность рождения мальчиков р=0,515 . Какова вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет а)480 девочек; б)девочек больше половины?

     Решение:

     Здесь лучше всего использовать  локальную теорему Лапласа (  n независимых

испытаний с вероятностью появления события  p вероятность того, что событие

наступит  к раз)

     

     - где приведенная таблично функция.

     q= 1-0,515=0,485 

np=485

а)

б) чем  больше будет число , тем больше будет вероятность, что девочек будет больше половины на 1000 новорожденных. 

ЗАДАЧА№5 Оптовая база снабжает 10 магазинов от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,6.Найти вероятное число поступающих заявок на снабжение в данный день?

Решение:

Наиболее  вероятное значение поступающих  заявок m можно найти из условия 

n – число магазинов =10,

p – вероятность, 0,6. 
 

Ответ: вероятное число поступающих заявок равна  

ЗАДАЧА № 3 3 охотника выстрелили в гуся. Вероятность их попадания 0,7; 0,8; 0,6. Найти

а) гусь уцелеет;

б) в  него попадает один охотник;

в) попадает хотя бы один охотник

Решение:

а)Ни один из охотников не попадет в цель (обозначим эту вероятность через ). Так как попадания различных охотников в цель следует считать независимыми событиями, вероятность равна произведению вероятностей того, что промажет каждый из охотников.

Событие, состоящее в том, что некоторый  охотник попадет в цель, и событие, состоящее в том, что он промажет, составляют полную систему событий. Сумма вероятностей двух этих событии  равна единице.

Таким образом, вероятность того, что

А) промажет 1 стрелок равна: 1 - 0,7 = 0,3

Б) промажет 2 стрелок равна: 1 - 0,8 = 0,2

В) промажет 3 стрелок равна: 1 - 0,6 = 0,4

Воспользуемся правилом умножения вероятностей и  получим вероятность того, что  промажут все трое охотников:

= 0,3*0,2*0,4 = 0,024

б) в него попадает один охотник

Р = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,7•0,2•0,4 + 0,3•0,8•0,4 + 0,3•0,2•0,6 = 0,188.

в) Событие, состоящее в том, что не попадет  в цель ни один из стрелков, и событие, состоящее в том, что попадет  хотя бы один, образуют полную систему  событий. Сумма вероятностей этих событий  равна единице. Поэтому искомая  вероятность P удовлетворяет уравнению:

P + = 1, откуда следует, что

P = 1 - = 1 - 0,024 = 0,976

Ответ: вероятность, что гусь уцелеет равна 0,024 (или 2,4%); вероятность попадания в цель одним охотником равна 0,188 (или 18,8%); вероятность попадания в цель хотя бы одного охотника равна 0,976 (или 97,6%) 

ЗАДАЧА№2 На группу из 10 юношей и 15 девушек выделили 8 билетов в театр. Какова вероятность, что при случайном распределении билетов в группе театралов окажется поровну девушек и юношей.

Решение

Общее количество человек равно 25 из них  в случайном порядке будет  выбрано 8 человек, т.е. 

Можно выбрать четыре девушки из пятнадцати способами, при этом остальные четыре юноши из 10 способами. Следовательно равно 

Искомая вероятность 

Ответ: вероятность распределения билетов  поровну между девушками и  юношами составляет 26,5%  

ЗАДАЧА№4 2 рабочих производили однотипные детали при этом производительность одного в 2 раза больше , чем у второго. У первого - 2% брака, а у второго-1%. Контроль обнаружил браковые детали каким рабочим она изготовлена

Решение:

Введем  полную группу гипотез:

= (Деталь  изготовлена  первым  рабочим),  
= (Деталь изготовлена вторым рабочим).

По условию  производительность первого рабочего вдвое больше, чем второго, поэтому  вероятности  , .

Введем  событие  = детали бракованные

Найдем  условные вероятности из данных задачи: . 

Найдем  вероятность события  по формуле полной вероятности:  

Тогда  вероятности ;,  найдем по формуле Байеса: 
 
 

Ответ: Так как >, то браковые детали изготовил первый рабочий. 

ЗАДАЧА№6 Оценить сколько нужно проверить изделий, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты годности изделий от вероятности 0,9 изделий быть годным не превысила 0,01?

Решение:

Решение.

По условию  p = 0,98; q = 0.02;

Воспользуемся формулой

В силу условия 

По таблице  найдем ф(1,6)=0,45. Следовательно 0,01 = 1,6 или .

Отсюда  n = 25600

Ответ: необходимо проверить изделий не менее n = 25600