Контрольная работа по "Высшая математика"

12. Даны  вершины треугольника ABC.

A(0,1), B(-12,10), C(-10,-4) 

Найти:

1. Длину стороны AB;
2. Уравнение стороны AB;
3. Уравнение высоты CD, ее длину
4. Уравнение окружности, для которой высота CD  является диаметром.

 

Решение:

1. Длину стороны найдем по формуле нахождения расстояния между двумя точками:

 
 
 
 

2. Уравнение стороны AB найдем по формуле:

 
 

Отсюда выразим  y: 

3. Уравнение высоты CD

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, имеет вид:

 

Высота CD перпендикулярна стороне AB. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как , то Подставив в формулу координаты точки C и найденный угловой коэффициент высоты, получим 

Уравнение высоты: 
 

Найти производные данных функций.

42. а)

б)

в)

г)  

Решение:

а) Производная  суммы равна сумме производных: 

Используем правило нахождения производной степенной функции  

и  

б) Используем правило 
 

в) Производная частного находится по формуле: 
 

г)

Найдем производную  сложной функции: 
 
 

52. а)

б)

в)

г)

Решение:

Используются  аналогичные формулы (как в примере 42)

а)

б)

в)

г)  

102. Вычислить площадь  фигуры, ограниченной  указанными линиями.  Сделать чертеж. 

112.  

Решение:

102. Построим  указанные линии. 

Нужно найти  площадь заштрихованной фигуры:

Используем формулу Ньютона-Лейбница. 

Пределы интегрирования найдем из уравнения: 

Решив квадратное уравнение  

найдем корни  уравнения . Это и есть пределы интегрирования. 
 
 

112. Построим указанные линии 
 

Площадь заштрихованной фигуры найдем по формуле Ньютона-Лейбница. 

Пределы интегрирования найдем из уравнения: 

Решив квадратное уравнение  

найдем корни  уравнения . Это и есть пределы интегрирования. 
 
 

Решить  систему линейных уравнений методом Крамера и сделать проверку.

122.

132.  

Решение:

122. Запишем систему в виде: 

B^T = (1,3,2)

Главный определитель:

∆ = 2 • (-2 • 5-(-1 • 4))-1 • (-4 • 5-(-1 • 3))+3 • (-4 • 4-(-2 • 3)) = -25 = -25

Заменим 1-ый столбец матрицы А на столбец В. 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = 1 • (-2 • 5-(-1 • 4))-3 • (-4 • 5-(-1 • 3))+2 • (-4 • 4-(-2 • 3)) = 25 
 

Заменим 2-ый столбец матрицы А на столбец В. 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = 2 • (3 • 5-2 • 4)-1 • (1 • 5-2 • 3)+3 • (1 • 4-3 • 3) = 0 

Заменим 3-ый столбец матрицы А на столбец В. 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = 2 • (-2 • 2-(-1 • 3))-1 • (-4 • 2-(-1 • 1))+3 • (-4 • 3-(-2 • 1)) = -25 

Проверка.

2•-1+-4•0+3•1 = 1

1•-1+-2•0+4•1 = 3

3•-1+-1•0+5•1 = 2 

132. Запишем систему в виде: 

B^T = (2,-5,-4)

Главный определитель:

∆ = 2 • (5 • (-3)-1 • (-4))-1 • (-3 • (-3)-1 • 1)+4 • (-3 • (-4)-5 • 1) = -2 = -2

Заменим 1-ый столбец матрицы А на столбец В. 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = 2 • (5 • (-3)-1 • (-4))-(-5 • (-3 • (-3)-1 • 1))+(-4 • (-3 • (-4)-5 • 1)) = -10 
 

Заменим 2-ый столбец матрицы А на столбец В. 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = 2 • (-5 • (-3)-(-4 • (-4)))-1 • (2 • (-3)-(-4 • 1))+4 • (2 • (-4)-(-5 • 1)) = -12 
 

Заменим 3-ый столбец матрицы А на столбец В. 

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = 2 • (5 • (-4)-1 • (-5))-1 • (-3 • (-4)-1 • 2)+4 • (-3 • (-5)-5 • 2) = -20 
 

Ответ:

Проверка.

2•5+-3•6+1•10 = 2

1•5+5•6+-4•10 = -5

4•5+1•6+-3•10 = -4 
 

Вычислить неопределенные интегралы  и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

82. а)

б)

в)  

92.

а)

б)

в)

Решение:

82.

а)

Проверка: 

б)

Выражение в  знаменателе введем под знак дифференциала: 

Проверка: 

в)

Используем метод интегрирования по частям: 

Проверка: 

92.

а)

Проверка: 
 

б)

Выражение в  знаменателе введем под знак дифференциала: 

Проверка: 

в)

Используем метод интегрирования по частям: 

Проверка: 
 

Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. При исследовании функции следует найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума, интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.

62.

73.

Решение:

62.

1. Область определения – множество всех действительных чисел

2. Выясним, является  ли функция четной или нечетной. 

Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Найдем промежутки возрастания и убывания. Для этого найдем первую производную функции: 

Найдем критические  точки: 

Возрастает на

Убывает на

В точке x=1 функция достигает максимума, в точке x=3 – минимума.

Найдем экстремумы функции. 
 

4. Найдет промежутки выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную: 

x=2 – точка, подозриетльная на перегиб

- выпукла

- вогнута 

(2,3) – точка перегиба

Построим график фукции

 

72.

1. Область определения – множество всех действительных чисел

2. Выясним, является  ли функция четной или нечетной. 

Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Найдем промежутки  возрастания и убывания. Для этого найдем первую производную функции: 

Найдем критические  точки: 

Возрастает на

Убывает на

В точке x=2 функция достигает максимума, в точке x=4 – минимума.

Найдем экстремумы функции. 
 

4. Найдет промежутки выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную: 

x=3 – точка, подозриетльная на перегиб

- выпукла

- вогнута 

(3,0) – точка перегиба

Построим график фукции