Контрольная работа по «Высшая математика»

                        МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ  ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
 
 
 
 
 

Контрольная работа по дисциплине

«Высшая математика»

Вариант 4 
 
 
 
 

Студент специальности:

«МО (080507.65)»

№ зачетки   32081974

Группа   3208060007

Имашева Елена Рафаилевна

Научный руководитель:

Хохлов  Алексей Григорьевич 
 
 

Тюмень 2011 

ВВЕДЕНИЕ  В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 

     

1. Вычислить предел

     

     Решение:

     Перед нами неопределенность вида  . Для решения уравнения используем правило Лапиталя. Для раскрытиия неопределенности продифференцируем по отдельности числитель и знаменатель:

     _1.

=

     _2.

=

     Поделим 1 на 2 и произведем упрощения:

     

     Для дальнейшего решения продифференцируем числитель и знаменатель повторно:

     3.

     4.

 

     

 

     Ответ: Предел равен 8.

2. Найти асимптоты функции

     

     Задача  тривиальная. Вертикальная асимптота  будет линия x = 2.

     Найдем  вторую асимптоту, для этого посчитаем  пределы: 

     

 и  

     

     K = 1

     

     b=1/2.

     Вторая  асимптота будет 

     Построим  графики: 

       

     

3. Определить  глобальные экстремумы:

 

     

    

     при хÎ[1,е]

     По  определению глобального экстремума, мы должны проверить точки концов отрезка и точки где . 

     

 

     Производная обращается в ноль в точке  , которая лежит за пределами отрезка.

     

     

 

     Соответственно  глобальный максимум , глобальный минимум 0.

4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

 

     

     Найдем  экстремумы: 
 

     

 

     Ноли  будут в точках 0,0, -2,

     

     

     

     

     Таким образом функция на промежутка (-∞,-2), (-1.2, ∞) монотонно возрастает. На промежутке (-2,-1,2) функция монотонно убывает. В точке 0 перегиб.

       

     

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

     

     

 
 

     Корни f’ в точках 0 и 2.

     Корень  f’’ в точке 1.

     Соответственно  точка перегиба в точке x=1. Функция выпуклая вверх на отрезке (-∞,1) и выпуклая в низ на отрезке (1, ∞) 

     «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ  И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ» 

     

1. Провести  полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

     

 

     

2. Найти локальные  экстремумы функции

 

     

     Возьмем частные производные по х и по y и решим систему уравнений прировняв их к нолю: 

     

     

 

     Система: 

       

     От  сюда получаем 4 точки экстремумов:

     

 

     

3. Определить  экстремумы функции:

 

     

,    

     если  х+у=1

     Найдем  производную:

     

 

     Ноль  производной в точке ½. В ней  минимум. 

 

      ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» 

     1 – 3. Найти неопределенный интеграл:

     

 

     

     

     

     

      

4. Вычислить:

 

     

 

     5. Определить длину кривой, описываемой  графиком функции  

     

     Длинна  кривой равна   

     Ответ: Длинна кривой равна 1, 8464.