Контрольная работа по "Высшей математике"

                               Высшая математика  3

                                    Контрольная работа  № 8  (8.6)

 

№ варианта:  6

 1.(8.1.6.) Найти |z|, argz, записать число z в тригонометрической и показательной форме.           Z = - 2 – 4i

Решение:

Так как  Rez = -2 < 0, Imz = -4, то вектор z будет располагаться в третьем квадранте комплексной плоскости, и аргумент:

 

Запишем число z в тригонометрической форме:

        

  и  показательной форме:

                                     . 

Ответ: ; arctg2 – π.

2.(8.2.6.) Данное число z записать в алгебраической форме

                          .

Решение:

Так как  ;    ;     , то:

=

 = -0.379 + 0.448i.                                                    

Ответ: , или -0.379 + 0.448i. -0.379 + 0.448i.

3.(8.3.6.) Найти все значения W корня из комплексного числа 

                                       .

Решение:

Определим модуль и аргумент z = - 27i :

;

, т.к. Rez = 0, Im = - 27< 0.

В соответствии с правилами извлечения корня  n–ой степени из компл. Числа, рассчитаем модуль и , к = 0, 1, 2.:

   ;

т.к. ,              где к = 0, 1, 2.

                                                                    

=                                                                   

      

=

=

Ответ:       3;       - 0.524;       1.571;          3.665.

4.(8.4.6.) По заданному  Lnz найтиz, записав в алгебраической форме

Решение:

Из определения  логарифма:

                            и того, что

                            

     Argz = - arctg1 + 2πm    число расположено в четвёртой четверти, x>0, y<0

Из условий

                        находим, что   x = 3,    y = - 3                                                                                                                                                                 

                                                Следовательно,  z = 3 – 3i.

Ответ:    z = 3 – 3i.   

5.(8.5.6) Найти функции Ref(z) и Imf(z) для заданной    .

Решение:

 

                     .  

                         .  

Ответ:    ;     .    

6.(8.6.6) Проверить, что данная функция является аналитической. Найти значение её производной в заданной точке .

Решение:

Выделим действительную и мнимую части функции f(z), вычислим частные производные от её действительной части и проверим выполнение условий Коши-Римана.

 =   = 

 

 

 

 

 

+ .

        +          

         .

 

          .

     Данная функция f(z) имеет непрерывные производные на всей комплексной плоскости, условия Коши-Римана выполняются f(z) – аналитическая.

  +  =  

+

=

= . 

Ответ:     

7.(8.7.6) Показать, что заданные функции u(0,0) = 1 и          гармонические. Найти по заданной функции u(0,0) или v(x,y) ей сопряженную.

Решение:

;      ;        ;       ;

= =0, следовательно гармоническая.

  Получаем,   .  

                                                                        x                        y              

  +   =

                                                                        0                        0

= . Из условия u(0,0) = 1-1+C=1    C=1.

Тогда   u(x,y) = .

Ответ:  +1. 

8.(8.8.6)   Вычислить данный интеграл

,  АВ – часть кривой  от А(0,0) до В(1,1).

Решение:

.

Для интеграла  справедлива формула:

, где  f(z) = u(x,y)+v(x,y)

Используем эту  формулу, т.к. f(z) – не аналитическая – в ней отсутствует мнимая часть:

, причём  ,  dy = 2xdx

                                                                            1                        1

   +   =

  = 0,533 + 0,833i.                                               0                        0

Ответ:  0,533 + 0,833i. 

9.(8.9.6)  Из двух данных интегралов вычислить тот, к которому применима               формула Ньютона-Лейбница:

          ,   АВ –отрезок от А(0,0) до В(1,1).

Решение:

1. Подинтегральная функция аналитична и, следовательно к ней применима формула Ньютона-Лейбница                                                                      1+i

  = = sin2i = i*sh2 = i*3,627.

                                                                                                ₀                                                                          

    2) - не является аналитической. 

 Ответ:  I₁ = 3,627i.      

10.(8.10.6) Применяя интегральные формулы Коши, вычислить интеграл      γ:    

Решение:

Точки t = 4  и t = 6    лежат внутри окружности .

По теореме  Коши для многосвязной области:

 ,

где γ₁ и γ₂     контуры, лежащие внутри окружности  и содержащие внутри себя точки t = 6  и t = 4 соответственно.

В области, ограниченной контуром γ_1, аналитична функция f₁( t ) = , а контуром γ_{2 –}

  f₂( t ) =  

Если функция  аналитична в D и на контуре С, то:

       и                     

По формулам получаем, что:

   +     =     

                       z = 6                     z = 4

Ответ:  3,036.