Контрольная работа по "Математике"

Математика. Контрольная работа №3. 

Параметры m и n определяются по двум последним цифрам номера зачетной книжки.  

А –  предпоследняя цифра, В – последняя  цифра.  

Значение  параметра m выбирается из таблицы 1, а значение параметра n – из таблицы 2. 

Таблица 1 (выбор параметра m) 

 
 

Таблица 2 (выбор  параметра n) 

 

m = 7   n = 4 

3.16.1. Решить задачу  Коши:

 

Решение:

Записываем  характеристическое уравнение:

;

;

.

Корни уравнения:

; ; .

Общее решение уравнения запишется  в виде:

.

Решаем  задачу Коши, для чего используем начальные условия:

;

;

.

Определяем  коэффициенты:

.

В итоге:

. 
 

3.28. Случайные события.

3.28.1. В коробке находятся  9 синих, 7 красных   и 9 зеленых карандашей. Одновременно вынимают 21 карандаш. Найти вероятность того, что среди них будет 8 синих и 5 красных.

Решение:

Всего карандашей – 25 штук. Число вариантов  выбрать 21 карандаш из 25 равно: . Число вариантов выбрать 8 синих карандашей из 9 равно: , а число вариантов выбрать 5 красных из 7 равно: . Искомая вероятность события равна:

. 
 

3.28.2. В первой урне находятся 9 шаров белого и 4 шаров черного цвета, во второй − 11 белого и 7 синего, в третьей − 7 белого и 8 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он  окажется белым.

Решение:

Рассмотрим  все возможные события:

1) из первой извлекли белый, из второй – тоже белый, в третьей в итоге будет 9 белых шаров.

.

2) из первой извлекли белый, из второй – синий, в третьей в итоге будет 8 белых шаров.

.

3) из первой извлекли черный, из второй – белый, в третьей в итоге будет 8 белых шаров.

.

4) из  первой извлекли черный, из второй – синий, в третьей в итоге будет 7 белых шаров.

.

Искомая вероятность события равна сумме  частных вероятностей:

. 

3.28.3.  Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна . Производятся 5 выстрелов. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

Решение:

Событие, состоящее в том, что стрелок  промахнется не более двух раз  можно трактовать как возможность промахнуться 0, 1 и 2 раза. То есть искомое событие есть сумма вероятностей промахнуться 0, 1 и 2 раза. Вероятность определяем по формуле Бернулли для события, происходящего с равной вероятностью.

Тогда:

;

Обозначим вероятность того, что стрелок  попадет в мишень при одном  выстреле как , а .

 
 

3.29. Случайные величины. 

3.29.2.Закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

Найти вероятности p₄, p₅ и дисперсию DХ, если математическое ожидание MХ = – 0,5 + 0,5m + 0,1n.

Решение:

Для закона распределения необходимо выполнение условия:

.

Отсюда:

.

Для математического  ожидания используется формула:

.

Отсюда:

.

Находим из двух уравнений неизвестные:

.

Далее определяем дисперсию:

.

Отсюда:

. 
 

3.29.3.Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти:

А) параметр a;

Б) функцию распределения F(x);

В) вероятность попадания случайно величины Х в интервал ;

Г) математическое ожидание МХ.

Д) Построить  график функции  и F(x).

Решение:

Для плотности  распределения случайной величины справедливо уравнение:

.

Отсюда:

.

Далее определим математическое ожидание:

Найдем  вероятность попадания случайной  величины X в интервал :

.

Определим функцию распределения случайной  величины:

.

Для заданной функции получим:

 
 

1. Численная обработка данных одномерной выборки.

Выборка X объемом N = 100 измерений задана таблицей:

 

Где x_i – результаты измерений, – частоты, с которыми встречаются значения x_i, , . 

1. Построить полигон относительных частот .

Решение:

Строим  соответствующую таблицу:

 

И полигон  относительных частот:

 
 

2. Вычислить среднее выборочное , выборочную дисперсию D_x и среднее квадратическое отклонение σ_x.

Решение:

Среднее выборочное определяем по формуле:

.

Отсюда:

. 

Аналогично  для выборочной дисперсии:

;

Среднее квадратичное отклонение:

. 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Построение  уравнений прямой регрессии

Двумерная выборка результатов совместных изменений признаков x и y объемом N = 100 измерений задана корреляционной таблицей: